[論文レビュー] Moduli of objects in dg-categories

Bertrand Toën, Michel Vaquié|Mar 14, 2005

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 16被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、飽和dgカテゴリ $T$ に関連する三角カテゴリ $[T]$ におけるコンパクト対象を分類する局所的に幾何的な $D^{-}$-スタック $\mathcal{M}_T$ の存在を確立し、有限性条件の下でその代数的性を証明する。主な貢献は、dgエンハンスメントを用いた三角カテゴリ内の対象の代数的モジュライ空間を構成する一般枠組みの確立であり、滑らかでコンpactなスキーム上の完全複体や、有限クーヴィーの表現への応用を含む。

ABSTRACT

To any dg-category $T$ (over some base ring $k$), we define a $D^{-}$-stack $\mathcal{M}_{T}$ in the sense of \cite{hagII}, classifying certain $T^{op}$-dg-modules. When $T$ is saturated, $\mathcal{M}_{T}$ classifies compact objects in the triangulated category $[T]$ associated to $T$. The main result of this work states that under certain finiteness conditions on $T$ (e.g. if it is saturated) the $D^{-}$-stack $\mathcal{M}_{T}$ is locally geometric (i.e. union of open and geometric sub-stacks). As a consequence we prove the algebraicity of the group of auto-equivalences of a saturated dg-category. We also obtain the existence of reasonable moduli for perfect complexes on a smooth and proper scheme, as well as complexes of representations of a finite quiver.

研究の動機と目的

• 有限型のdgエンハンスメントを備えた三角カテゴリ内の対象の幾何的モジュライ空間を構成すること。
• dgカテゴリと高階スタックを用いて、三角カテゴリのモジュライ理論における技術的制限を克服すること。
• 飽和dgカテゴリにおけるコンパクト対象のモジュライの代数的性を確立すること。
• 古典的モジュライ構成（例：表現や完全複体）を、導来的および高階圏的設定へ一般化すること。
• $D^{-}$-スタックによるモジュライ関手の代表可能性を証明し、幾何的および有限性の性質を保証すること。

提案手法

• dgカテゴリ $T$ に対して、$T^{\mathrm{op}}$-dgモジュールを分類する $D^{-}$-スタック $\mathcal{M}_T$ を定義する。
• コンパクト生成モデルカテゴリとdgカテゴリの理論を用いて、モジュライ関手を構成する。
• [HAGII] の意味での幾何的であることを示すことで、$\mathcal{M}_T$ が開部分スタックの和集合であることを証明し、幾何的性を確立する。
• 飽和性などの有限性条件を適用し、$\mathcal{M}_T$ が局所的に幾何的かつ強く有限型であることを保証する。
• 導来ホモロジーとコホホロジー次元の上限を用いて、supp をもつ関数 $\nu: \mathbb{Z} \to \mathbb{N}$ を通じてモジュライ空間を制御する。
• スキーム上の完全複体およびクーヴィーの表現のための明示的モジュライ空間 $\mathbb{R}\underline{Perf}(X)^\nu$ と $\mathbb{R}\underline{Parf}(Q)^\nu$ を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 dgエンハンスメントを備えた三角カテゴリにおいて、コンパクト対象のモジュライ空間を代数的に構成できるか？
• RQ2 dgカテゴリ内の対象のモジュライ $D^{-}$-スタックが、どのような条件下で局所的に幾何的かつ有限型であるか？
• RQ3 飽和dgカテゴリの自己同値の群が代数的であることをどのように示せるか？
• RQ4 滑らかでコンパクトなスキーム上の完全複体のモジュライ空間の導来的構造は何か？
• RQ5 モジュライスタックの幾何的性質から、完全複体の族の有界性基準を導出できるか？

主な発見

• 飽和dgカテゴリ $T$ の場合、$T^{\mathrm{op}}$-dgモジュールを分類する $D^{-}$-スタック $\mathcal{M}_T$ は局所的に幾何的であり、その代数的性が証明される。
• 滑らかでコンパクトなスキーム $X$ に対して、任意の有界な台を持つ $\nu$ に対して、モジュライスタック $\mathbb{R}\underline{Perf}(X)^\nu$ は $n$-幾何的かつ強く有限型である。
• コホホロジー次元の上限を用いた有界性基準が確立される：$j \in [0,d]$ に対して $\dim_k \mathbb{H}^k(X, E_i(j)) \leq \nu(k)$。
• 有限クーヴィー $Q$ の擬完全複体の表現のモジュライスタック $\mathbb{R}\underline{Parf}(Q)$ は、局所的に幾何的かつ局所的に有限型である。
• 点 $E$ における $\mathbb{R}\underline{Parf}(Q)$ の接複体は $\mathbb{R}\underline{Hom}(E,E)[1]$ に同型であり、導来変形理論を反映している。
• 飽和dgカテゴリの自己同値の群は、局所的に幾何的な $D^{-}$-スタックによって代表され、代数的である。