[論文レビュー] A strong direct product theorem in terms of the smooth rectangle bound

Rahul Jain, Penghui Yao|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2012

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 42被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、二方向のパブリックコイン通信複雑性において、滑らかな長方形境界を下界手法として用い、強い直接積定理を確立する。任意の関係について $k$ 個のインスタンスを解くには、成功確率が $k$ に対して指数的に減少しない限り、1インスタンスに必要なリソースの $\Omega(k)$ 倍のリソースが必要であることを示し、Set-Disjointness や Inner Product、Gap-Hamming Distance といった既知の関数についての結果を統一的かつ拡張的に扱う。

ABSTRACT

A strong direct product theorem states that, in order to solve k instances of a problem, if we provide less than k times the resource required to compute one instance, then the probability of overall success is exponentially small in k. In this paper, we consider the model of two-way public-coin communication complexity and show a strong direct product theorem for all relations in terms of the smooth rectangle bound, introduced by Jain and Klauck as a generic lower bound method in this model. Our result therefore uniformly implies a strong direct product theorem for all relations for which an (asymptotically) optimal lower bound can be provided using the smooth rectangle bound, for example Inner Product, Greater-Than, Set-Disjointness, Gap-Hamming Distance etc. Our result also implies near optimal direct product results for several important functions and relations used to show exponential separations between classical and quantum communication complexity, for which near optimal lower bounds are provided using the rectangle bound, for example by Raz [1999], Gavinsky [2008] and Klartag and Regev [2011]. In fact we are not aware of any relation for which it is known that the smooth rectangle bound does not provide an optimal lower bound. This lower bound subsumes many of the other lower bound methods, for example the rectangle bound (a.k.a the corruption bound), the smooth discrepancy bound (a.k.a the γ_2 bound) which in turn subsumes the discrepancy bound, the subdistribution bound and the conditional min-entropy bound. We show our result using information theoretic arguments. A key tool we use is a sampling protocol due to Braverman [2012], in fact a modification of it used by Kerenidis, Laplante, Lerays, Roland and Xiao [2012].

研究の動機と目的

• 二方向のパブリックコイン通信複雑性におけるすべての関係について、強い直接積定理が成り立つかどうかという未解決問題を解決すること。
• 広く適用可能な下界手法である滑らかな長方形境界に基づく一般化された結果を確立すること。
• Set-Disjointness や Inner Product といった特定の関数について既存の強い直接積定理を統一的かつ再証明すること。
• Gap-Hamming Distance や量子-古典的分離に用いられる関係といった新しい関数へ結果を拡張すること。
• よりタイトな下界や通信複雑性に関する新たな知見を導く可能性を秘めたフレームワークを提供すること。

提案手法

• $k$ 個の並列インスタンスを解くプロトコルの成功確率を分析するために情報理論的議論を用いる。
• Braverman と Kerenidis らの手法を変更したサンプリングプロトコルを用い、複数インスタンス設定における誤差をシミュレートおよび束縛する。
• 滑らかな長方形境界を汎用的な下界手法として採用し、長方形（破壊）境界や他の既知の境界を一般化する。
• 相互情報量と発散に関する特定の条件下で、条件付き分布と誤差の束縛を扱う重要な補題に依存する。
• すべての他の参加者の入力とメッセージの組み合わせ視覚 $R_j$ を再帰構造で定義し、プロトコルの振る舞いを分析する。
• リソースが $k$ に対して線形でない場合に誤差が $\varepsilon$ を超えることを示すために、巧みにパrameterを設定して矛盾を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二方向のパブリックコイン通信複雑性におけるすべての関係について、強い直接積定理は成り立つか？
• RQ2 滑らかな長方形境界は、このモデルにおけるすべての関係について漸近的にタイトか？
• RQ3 滑らかな長方形境界を用いて、新しいか既存の関数について最適な下界を導くことができるか？
• RQ4 パーティション境界や情報複雑性といったより強力な下界手法を用いて、類似の直接積結果を示すことができるか？
• RQ5 滑らかな長方形境界が真の通信複雑性を捉えきれない関係は存在するか？

主な発見

• 滑らかな長方形境界をパrameterとして用いる限り、二方向のパブリックコイン通信複雑性におけるすべての関係について強い直接積定理が成り立つ。
• 1インスタンスに必要なリソースの $k$ 倍未満で $k$ 個のインスタンスを解く場合、成功確率は $k$ に対して指数的に減少する。
• Inner Product や Set-Disjointness について既存の強い直接積定理を再証明し、滑らかな長方形フレームワーク下でもその堅牢性を確認した。
• Gap-Hamming Distance について新たな強い直接積結果を確立し、既知の下界を直接積の枠組みへ拡張した。
• この手法は、Raz や Gavinsky、Klartag-Regev が用いたような指数的量子-古典的分離に用いられる関係に対しても、近似的に最適な直接積結果を示唆する。
• 情報理論的不等式とサンプリングに基づくこの証明技法は、滑らかな長方形境界下界を持つ任意の関係に一般化可能なテンプレートを提供する。