[論文レビュー] A strong restricted isometry property, with an application to phaseless compressed sensing

Vladislav Voroninski, Zhiqiang Xu|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2014

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 28被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$k$-スパース信号の位相なし圧縮センシング測定値からの正確な復元を可能にする強力な制限等長性性質（SRIP）を導入する。$\varepsilon$-ノルム最小化を用いる場合、$O(k\log(n/k))$ 測定値を有するランダムなガウス行列が高確率でSRIPを満たすことが証明され、$|Ax| = |Ax_0|$ における $\ell_1$ 最小化が、グローバル符号を除き $x_0$ を正確に復元することを保証する。これは、標準的な圧縮センシングを位相なし設定に拡張するものである。

ABSTRACT

The many variants of the restricted isometry property (RIP) have proven to be crucial theoretical tools in the fields of compressed sensing and matrix completion. The study of extending compressed sensing to accommodate phaseless measurements naturally motivates a strong notion of restricted isometry property (SRIP), which we develop in this paper. We show that if $A \in \mathbb{R}^{m imes n}$ satisfies SRIP and phaseless measurements $|Ax_0| = b$ are observed about a $k$-sparse signal $x_0 \in \mathbb{R}^n$, then minimizing the $\ell_1$ norm subject to $ |Ax| = b $ recovers $x_0$ up to multiplication by a global sign. Moreover, we establish that the SRIP holds for the random Gaussian matrices typically used for standard compressed sensing, implying that phaseless compressed sensing is possible from $O(k \log (n/k))$ measurements with these matrices via $\ell_1$ minimization over $|Ax| = b$. Our analysis also yields an erasure robust version of the Johnson-Lindenstrauss Lemma.

研究の動機と目的

• 位相なし圧縮センシングに特化した強力な制限等長性性質（SRIP）を構築すること。ここでは、$|Ax_0|$ のみが利用可能な大きさの測定値が前提となる。
• 制約 $|Ax| = |Ax_0|$ の下での $\ell_1$-ノルム最小化が、元の $k$-スパース信号 $x_0$ をグローバル符号を除き復元できる条件を確立すること。
• ランダムなガウス行列が $m = O(k\log(n/k))$ 測定値を有する場合、高確率でSRIPを満たすことを示し、効率的かつ証明可能な正確な復元を可能にすること。
• 解析の副産物として、エラージュ耐性を持つジョンソン＝リンデンストラウス補題を導出すること。

提案手法

• 標準的なRIPの強化版として、すべての十分に大きな部分行列がスパースベクトルの $\ell_2$-ノルムを狭い範囲内に保つことを要件とする、強力な制限等長性性質（SRIP）を導入する。
• 行列 $A$ がパラメータ $\theta_-, \theta_+$ を持つ $k$ 階のSRIPを満たすならば、$|Ax| = |Ax_0|$ における $\ell_1$ 最小化が、グローバル符号を除き $x_0$ を復元できることを証明する。
• 測度集中不等式および尾確率の境界を用いて、$m \times n$ のガウス行列が $m = O(k\log(n/k))$ の場合、高確率でSRIPを満たすことを確立する。
• 方程式 $Ax = b_\epsilon$ が解を持つような符号パターン $\epsilon \in \{1,-1\}^m$ の構造を分析し、SRIPのもとでは、$\ell_1$-ノルムが最小になるのは $x = \pm x_0$ のみであることを示す。
• 標準的なRIPにおける $\ell_1$-最小化に関する既知の結果を、部分行列解析と符号の一貫性を用いて、位相なし設定へと拡張する。
• エラージュ耐性を持つジョンソン＝リンデンストラウス補題を導出し、座標の定数割合を削除した後でも、次元削減が距離を近似的に保つことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\ell_1$ 最小化が非凸制約集合 $|Ax| = |Ax_0|$ の下で、位相なし測定値から $k$-スパース信号 $x_0$ を正確に復元できるか？
• RQ2 位相なし圧縮センシングにおける正確な復元を保証するために、標準的なRIPよりも強い等長性条件は何か？
• RQ3 ランダムなガウス行列が $O(k\log(n/k))$ 測定値を有する場合、この強い条件を高確率で満たすか？
• RQ4 ジョンソン＝リンデンストラウス補題は、ランダムな座標のエラージュに対しても、強化された形で有効に保たれるか？
• RQ5 同じ測定複雑度で、位相なし復元フレームワークを複素数値信号へと拡張することは可能か？

主な発見

• 強力な制限等長性性質（SRIP）が、パラメータ $\theta_-, \theta_+$ が適切に選ばれた $k$ 階のSRIPを行列 $A$ が満たす限り、$|Ax| = |Ax_0|$ における $\ell_1$ 最小化が $x_0$ をグローバル符号を除き正確に復元できることを保証する。
• 測定数 $m = O(k\log(n/k))$ のランダムな $m \times n$ ガウス行列は、高確率で $k$ 階のSRIPを満たし、$O(k\log(n/k))$ の位相なし測定値からの証明可能な復元を可能にする。
• 解析から、座標の正の割合を削除した後でも距離を近似的に保つ、エラージュ耐性を持つジョンソン＝リンデンストラウス補題のバージョンが得られる。
• 任意の $k$-スパース信号 $x_0$ に対して、$\min \|x\|_1 \text{ s.t. } |Ax| = |Ax_0|$ の解は、$A$ が $m = O(k\log(n/k))$ のガウス行列である場合、高確率で $x = \pm x_0$ となる。
• 証明は、任意の符号パターン $\epsilon$ に対して、$Ax = b_\epsilon$ の解 $x_\epsilon$ が $\|x\|_1 \geq \|x_0\|_1$ を満たし、等号が成り立つのは $x_\epsilon = \pm x_0$ のみであることを示すことに依存する。
• この結果により、SRIP条件のもとでは、位相なし圧縮センシングが、標準的な圧縮センシングと同等の $O(k\log(n/k))$ 測定複雑度で可能であることが確立される。