[論文レビュー] A strong uniform convergence rate of a kernel conditional quantile estimator under random left-truncation and dependent data

Elias Ould-Saı̈d, Djabrane Yahia+1 more|ArXiv.org|Oct 7, 2008

Statistical Methods and Inference参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、確率的左端打ち切りとα-混合従属の下で、カーネルに基づく条件付き分位数推定量の強い一様収束速度を確立する。従来のi.i.d.結果を拡張し、弱い混合条件の下で、対数項とバンド幅項を組み合わせた収束速度を伴う推定量のほとんど確実な一様収束を証明する。これにより、生存解析や計量経済学などの従属的・切断されたデータ設定における頑健な非パラメトリック分位数推論が可能になる。

ABSTRACT

In this paper we study some asymptotic properties of the kernel conditional quantile estimator with randomly left-truncated data which exhibit some kind of dependence. We extend the result obtained by Lemdani, Ould-Saïd and Poulin [16] in the iid case. The uniform strong convergence rate of the estimator under strong mixing hypothesis is obtained.

研究の動機と目的

• ランダムな左端打ち切りと従属データの設定へのカーネル条件付き分位数推定量の強い一様一致性の拡張を目的とする。
• 時間系列で一般的な弱い従属の形式であるα-混合従属の下で、推定量の非漸近的収束速度を確立すること。
• 切断され、従属的なデータにおける非パラメトリック分位数回帰の理論的保証を提供すること。生存解析や計量経済学に関連する。
• Lemdaniら（2008年）のi.i.d.ケースにおける先行研究を、より一般的な従属データモデルに一般化すること。
• 重尾誤差や外れ値が存在する状況において、切断下での条件付き分位数推定による頑健な推論を支援すること。

提案手法

• 打ち切りを逆確率重み付けで補正した重み付き経験分布関数に基づくカーネル条件付き分位数推定量を提案する。
• 変数(X, Y)の同時密度推定に二変量カーネル推定量を用い、バンド幅hを用いる。カーネル関数には有界性や compact 支持などの条件を課す。
• データの弱い従属をモデル化するため、強い混合条件（α-混合）を適用し、混合係数が多項式的速率で減少すると仮定する。
• テイラー展開とモーメントバウンドを用いて、打ち切りと従属を考慮した推定量のバイアスと分散を導出する。
• 一様偏差の制御に、Borel-Cantelli補題と最大不等式を用いる。
• バイアスと分散のバウンドを組み合わせ、α-混合の下で、O_p( max{ sqrt(log n / (n h)) , h^2 } ) の形の一致収束速度を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダムな左端打ち切りとα-混合従属の下で、カーネル条件付き分位数推定量の強い一様収束速度は何か？
• RQ2 α-混合という従属構造は、i.i.d.ケースと比較して収束速度にどのように影響するか？
• RQ3 先行研究より弱いモーメント条件および混合条件のもとでも、一様一貫性と収束速度を確立できるか？
• RQ4 従属的状況下で、打ち切りがカーネル推定量のバイアスと分散に及ぼす影響は何か？
• RQ5 非i.i.d.データ下で、設計空間全体における一様偏差の推定量の性能はいかがなものか？

主な発見

• 本稿は、α-混合とランダムな左端打ち切りの下で、カーネル条件付き分位数推定量の強い一様収束速度 O_p( max{ sqrt(log n / (n h)) , h^2 } ) を確立する。
• 収束速度は、α-混合係数が多項式的に減少する、すなわち α(n) = O(n^{-δ}) (δ > 0) であると仮定した下で導出される。
• 密度関数およびカーネル関数に関する正則性条件のもとで、バイアス項は O(h^2) であることが示され、従属性とは無関係に成立する。
• 最大不等式とモーメントバウンドを用いて分散項を制御し、α-混合の下で一様偏差が O_p( sqrt(log n / (n h)) ) で有界であることを示す。
• Lemdani ら（2008年）のi.i.d.収束速度を、従属ケースに拡張し、同じレート構造を維持する。
• 証明は、推定量をバイアス、分散、および経験過程の成分に分解し、後者はBorel-Cantelliおよびモーメント条件によって制御する。