[論文レビュー] Weak convergence rates for temporal numerical approximations of stochastic wave equations with multiplicative noise

Sonja Cox, Arnulf Jentzen+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 49被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、乗法的ノイズを伴う確率的波動方程式、特に双曲型アンダーソン・モデルの時間的数値近似における最適な弱収束速度を確立する。著者らは、新規の誤差分割技法と弱イto公式を用いて、弱収束速度が既知の強収束速度の2倍であることを証明した。これは、文献においてこのような方程式に対して初めて本質的に鋭い弱収束速度が得られたものである。

ABSTRACT

In this work we establish weak convergence rates for temporal discretisations of stochastic wave equations with multiplicative noise, in particular, for the hyperbolic Anderson model. For this class of stochastic partial differential equations the weak convergence rates we obtain are indeed twice the known strong rates. To the best of our knowledge, our findings are the first in the scientific literature which provide essentially sharp weak convergence rates for temporal discretisations of stochastic wave equations with multiplicative noise. Key ideas of our proof are a sophisticated splitting of the error and applications of the recently introduced mild Itô formula. We complement our analytical findings by means of numerical simulations in Python for the decay of the weak approximation error for SPDEs for four different test functions.

研究の動機と目的

• 乗法的ノイズを伴う確率的波動方程式の時間的数値近似における最適な弱収束速度を確立すること。
• 乗法的ノイズを伴う双曲型SPDEにおける弱収束速度を示すための標準的手法の欠如に取り組むこと。
• 既知の強収束結果を弱収束に拡張し、その速度が強収束速度の2倍であることを証明すること。
• 半群の滑らかさ効果が欠如している状況においても適用可能な、新規の解析的枠組みを構築すること。
• 双曲型アンダーソン・モデルに対して、初めての厳密で本質的に鋭い弱収束速度を提供すること。

提案手法

• 弱近似誤差を扱いやすい成分に分解する、洗練された誤差分割戦略が用いられる。
• 最近導入された弱イto公式が、方程式内の非線形性および乗法的ノイズ構造を扱うために適用される。
• インタポレーション空間およびヒルベルト空間における正則性推定を用いて、数値近似の事前評価が得られる。
• 無限次元ヒルベルト空間におけるコルモゴロフ方程式を活用して、弱誤差を特徴付ける。
• 分数的ソボレフ空間におけるノイズ項およびドリフト項の作用素ノルムの精密な推定に依拠する。
• テスト関数の導関数およびノイズ作用素の成長を制御することで、弱誤差に対する一様なバインディングを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 乗法的ノイズを伴う確率的波動方程式の時間離散化における弱収束速度は何か？
• RQ2 双曲型設定下で、乗法的ノイズを伴う場合に弱収束速度が正確に強収束速度の2倍であることが示せるか？
• RQ3 滑らかさ効果の欠如する双曲型SPDEにおいて、弱イto公式をどのように変形して弱収束を分析できるか？
• RQ4 どのような新規の誤差分解戦略が、この文脈における鋭い弱収束解析を可能にするか？
• RQ5 双曲型アンダーソン・モデルに対して、本質的に鋭い弱収束速度を確立することは可能か？

主な発見

• 乗法的ノイズを伴う確率的波動方程式の時間離散化における弱収束速度が、既知の強収束速度の2倍であることが証明された。
• 双曲型アンダーソン・モデルでは、弱収束速度が1次であることが達成され、弱収束速度が強収束速度の2倍であるという理論的期待と一致する。
• 本分析により、乗法的ノイズを伴う双曲型SPDEにおける時間スキームに対して、初めて本質的に鋭い弱収束速度が確立された。
• 初期データおよびテスト関数が十分に正則であるという仮定の下で、この手法は頑健である。φ ∈ C⁴(H₀, ℝ) が成り立つ。
• 証明により、ノイズ作用素Bが分数的ヒルベルト空間において必要な正則性および有界性条件を満たしていることが確認され、収束が保証される。
• 結果は、L²((0,1); ℝ) 上の円筒ウィーナー過程によって駆動されるような一般な乗法的ノイズ構造に対しても有効である。