[論文レビュー] A structure theorem for geodesic currents and length spectrum compactifications

Marc Burger, Alessandra Iozzi+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 8被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、有限型の双曲的曲面上の測地的電流を、測度付きラミネーションまたは正のシステムを有する電流に関連する成分に標準的分解することを確立する。正のシステムを有する電流は、双リプシッツ同値な交差関数と長さ関数を持つことが示され、マッピングクラス群はこの開部分集合上で properly discontinuously に作用する。これにより、Hitchin および最大特徴的多様体の長さスペクトルコンパクト化に関する構造定理が得られる。

ABSTRACT

We find a canonical decomposition of a geodesic current on a surface of finite type arising from a topological decomposition of the surface along special geodesics. We show that each component either is associated to a measured lamination or has positive systole. For a current with positive systole, we show that the intersection function on the set of closed curves is bilipschitz equivalent to the length function with respect to a hyperbolic metric. We show that the subset of currents with positive systole is open and that the mapping class group acts properly discontinuously on it. As an application, we obtain in the case of compact surfaces a structure theorem on the length functions appearing in the length spectrum compactification both of the Hitchin and of the maximal character varieties and determine therein an open set of discontinuity for the action of the mapping class group.

研究の動機と目的

• 特殊な測地線に沿った位相的分解に基づき、有限型の双曲的曲面上の測地的電流の標準的分解を提供すること。
• 分解の成分を、測度付きラミネーションに関連するものか、正のシステムを有するものかで特徴づけること。
• 正のシステムを有する電流が、双曲的計量に関して、交差関数と長さ関数が双リプシッツ同値であることを示すこと。
• 正のシステムを有する電流の部分集合が開であり、かつマッピングクラス群がその上に properly discontinuously に作用することを証明すること。
• 得られた結果を応用し、Hitchin および最大特徴的多様体の長さスペクトルコンパクト化におけるマッピングクラス群作用の不連続部分集合を特定すること。

提案手法

• すべての $ c' $ が $ c $ と交わるとき $ i(\mu, c) = 0 $ だが $ i(\mu, c') > 0 $ であるような特殊な閉測地線の集合 $\mathcal{E}_\mu$ を定義し、これは単純閉曲線の互いに素な和集合をなす。
• 曲面 $\Sigma$ を $\mathcal{E}_\mu$ に属する曲線で囲まれた部分曲面 $\Sigma_v$ に分解し、各 $\Sigma_v$ に台を持つ成分 $\mu_v$ と境界曲線上の原子的部品 $\lambda_c \delta_c$ に電流 $\mu$ を和に分解する。
• 測地線に $\mu$-交差がゼロであるという概念を一般化し、分解における二分岐を特徴付けるために、$\mu$-やや短い測地線の概念を導入する。
• 各成分 $\mu_v$ に対して、$\mathrm{Syst}_{\Sigma_v}(\mu_v) > 0$ であるか、または $\mu_v$ が $\Sigma_v$ を満たす測度付きラミネーションに関連する電流であることを証明する。
• Bonahon の交差ペアリングのコンパクト性と連続性を用いて、システムがゼロである電流の集合が閉集合であることを示し、これによりシステムが正である電流の集合が開集合であることを示す。
• Otal の結果（写像 $I: \mathbb{P}\mathcal{C}(\Sigma) \to \mathbb{P}(\mathbb{R}_{\geq 0}^{\mathscr{C}})$ は像上にホメオモルフィズムである）を応用し、構造と長さスペクトルコンパクト化を関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限型の双曲的曲面上の測地的電流は、特別な測地線に沿った位相的分解に基づき、標準的かつ一意に分解可能か？
• RQ2 このような分解の成分はどのように特徴づけられるか？ ある成分が測度付きラミネーションに関連する場合と、正のシステムを有する場合の境界は何か？
• RQ3 測地的電流のうち、正のシステムを有する部分集合は、すべての電流の空間において開集合か？
• RQ4 マッピングクラス群は、正のシステムを有する電流の部分集合上で properly discontinuously に作用するか？
• RQ5 Hitchin および最大特徴的多様体の長さスペクトルコンパクト化における構造は何か？ 特に、マッピングクラス群作用の不連続集合に関しては？

主な発見

• 任意の有限型の双曲的曲面上の測地的電流 $\mu$ は、$\mu = \sum_{v \in \mathcal{V}_\mu} \mu_v + \sum_{c \in \mathcal{E}_\mu} \lambda_c \delta_c$ という標準的分解を持つ。各 $\mu_v$ は部分曲面 $\Sigma_v$ に台を持ち、正のシステムを有するか、または $\Sigma_v$ を満たす測度付きラミネーションに関連する電流である。
• 任意の電流 $\mu$ に対して $\mathrm{Syst}(\mu) > 0$ ならば、閉曲線 $c$ に対する写像 $c \mapsto i(\mu, \delta_c)$ は、双曲的長さ関数 $\ell(c)$ と双リプシッツ同値である。
• $\mathrm{Syst}(0) = \{ \mu \in \mathcal{C}(\Sigma) \mid \mathrm{Syst}(\mu) = 0 \}$ は閉集合であるため、その補集合 $\Omega = \{ \mu \mid \mathrm{Syst}(\mu) > 0 \}$ は $\mathcal{C}(\Sigma)$ 内で開集合である。
• マッピングクラス群は、正のシステムを有する電流の開部分集合 $\Omega \subset \mathcal{C}(\Sigma)$ 上で properly discontinuously に作用する。
• Hitchin および最大特徴的多様体の長さスペクトルコンパクト化において、写像 $I$ による $\Omega$ の像は、マッピングクラス群作用の開不連続部分集合をなす。
• 任意の $[\mu] \in \Omega$ に対して、近傍 $V_{[\mu]}$ と定数 $0 < c_1 \leq c_2$ が存在し、すべての $[\nu] \in V_{[\mu]}$ および固定されたコンパクト集合内のすべての閉測地線 $c$ に対して、$c_1 \ell(c) \leq i(\nu, \delta_c) \leq c_2 \ell(c)$ が成り立つ。