[論文レビュー] Well displacing representations and orbit maps

Thomas Delzant, Olivier Guichard+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2007

Geometric and Algebraic Topology参考文献 4被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、幾何的群論における、良好にずらし可能な群作用と準等長的軌道写像の関係を調査する。双曲群およびU性質を持つ線形群（例えば格子）に対して、良好にずらし可能な作用は準等長的軌道写像をもたらすが、逆は一般には成り立たない——特に、単位的要素を含むSL(n,Z)のような群では、準等長的軌道写像を持つにもかかわらず良好にずらし可能でない。主な貢献は、このような群における非良好にずらし可能な作用を特徴付ける「有界深さの根性質」の導入である。

ABSTRACT

We discuss in this article a property of action of groups by isometries called "well displacing". An action is said to be well displacing, if the displacement function is equivalent to the the displacement function for the action on the Cayley graph. We relate this property with the fact that orbit maps are quasi-isometric embeddings. We first describe countrexamples that shows this two notions are unrelated in general. On the other hand we explain that for a certain class of groups -- in particular hyperbolic groups -- these two properties are equivalent. In the course of our discussion, we introduce an intrinsic property of the group -- that we called the U-property -- which says quantitatively how the norm an element is controlled by the translation length of finitely many related conjugacy classes. This property play a central role in our discussion.

研究の動機と目的

• メトリック空間における良好にずらし可能な群作用と準等長的軌道写像の関係を明確化すること。
• 良好にずらし可能な作用が準等長的軌道写像をもたらす条件、およびその逆について特定すること。
• 非良好にずらし可能な作用の基準としての有界深さの根性質を導入し、分析すること。
• 単位的要素および無限大ねじれの役割が良好にずらし可能を妨げる仕組みを調査すること。
• すべての線形群がU性質を満たすかどうか、特に格子およびSL(n,Z)の文脈で同定すること。

提案手法

• 群の要素に対して、d_X(γ) = infₓ∈Xd(x, γ(x)) を変位関数、ℓ_S(γ) = infₙ‖ηγη⁻¹‖_S を移動長とする。
• 定数A, B > 0に対して不等式 d_X(γ) ≥ Aℓ_S(γ) − B を満たすことで、良好にずらし可能な作用を定義する。
• 軌道写像の準等長性と変位の制御を結びつけるために、安定ノルム [g]_∞^X = liminfₙ→∞ (1/n)d(x₀, gⁿx₀) を用いる。
• 安定ノルムが移動長と一様に比較可能（すなわち、[g]_∞ ≥ αℓ(g)）ならば、準等長的軌道写像は良好にずらし可能な作用をもたらすことを証明する。
• 有界深さの根性質を導入：A ∈ SL(n,Z) に対して、Bᵏ = A を満たす根Bの個数はkに関して一様に有界である。
• 代数的数論および固有値の評価を用いて、SL(n,Z)が有界深さの根性質を満たすことを示し、非良好にずらし可能な作用を示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 良好にずらし可能な作用が、軌道写像が準等長的埋め込みであることをもたらす条件は何か？
• RQ2 すべての線形群がU性質（すなわち、良好にずらし可能な作用が準等長的軌道写像をもたらす）を満たすか？
• RQ3 なぜSL(n,Z)のSL(n,R)/SO(n,R)への作用は、準等長的軌道写像を持つにもかかわらず、良好にずらし可能でないのか？
• RQ4 有界深さの根性質は、単位的要素を含む作用の非良好にずらし可能性とどのように関係するか？
• RQ5 U性質は、安定ノルムが移動長と一様に比較可能であることと同値か？

主な発見

• 双曲群はU性質を満たす：良好にずらし可能な作用は準等長的軌道写像をもたらす。
• SL(n,Z)はU性質を満たさない。SL(n,R)/SO(n,R)への作用は、準等長的軌道写像を持つが、良好にずらし可能でない。
• SL(n,Z)は有界深さの根性質を満たす。これは、要素の根の次数がkに関して一様に有界であることを意味する。
• 有界深さの根性質を満たす群では、limₚ→∞d_X(γᵖ) = ∞ を満たす要素γに対して、作用は良好にずらし可能でない。
• 双曲群では、安定ノルム [g]_∞ が移動長 ℓ(g) と一様に比較可能であり、これが準等長的軌道写像が良好にずらし可能をもたらす理由を説明する。
• 有限個の共役類しか持たない無限群（例えば、自明な作用を許容する）では、常に良好にずらし可能な作用が存在するが、非準等長的軌道写像をもたらすことがある。