[論文レビュー] A structure theorem for semi-parabolic Hénon maps

Remus Radu, Raluca Tanase|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 13被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、倍角固定点の乗数 $\lambda = e^{2\pi i p/q}$ を持つ二次多項式の小さな摂動として得られる半放物型 Hénon 写像について、その構造定理を確立する。正のジュリア集合 $J^+$ が、多項式のジュリア集合上への自明な正則バンドルであり、ファイバーはドメインにbiholomorphic であることを、正規化座標とファイバー束の構成を用いて証明する。また、全ジュリア集合 $J$ は商されたソリノイドと同相であり、パrameter の小さなドメイン内での $J$ および $J^+$ における構造的安定性を示す。

ABSTRACT

Consider the parameter space $\mathcal{P}_λ\subset \mathbb{C}^{2}$ of complex Hénon maps $$ H_{c,a}(x,y)=(x^{2}+c+ay,ax),\ \ a eq 0 $$ which have a semi-parabolic fixed point with one eigenvalue $λ=e^{2πi p/q}$. We give a characterization of those Hénon maps from the curve $\mathcal{P}_λ$ that are small perturbations of a quadratic polynomial $p$ with a parabolic fixed point of multiplier $λ$. We prove that there is an open disk of parameters in $\mathcal{P}_λ$ for which the semi-parabolic Hénon map has connected Julia set $J$ and is structurally stable on $J$ and $J^{+}$. The Julia set $J^{+}$ has a nice local description: inside a bidisk $\mathbb{D}_{r} imes \mathbb{D}_{r}$ it is a trivial fiber bundle over $J_{p}$, the Julia set of the polynomial $p$, with fibers biholomorphic to $\mathbb{D}_{r}$. The Julia set $J$ is homeomorphic to a quotiented solenoid.

研究の動機と目的

• 二次多項式に放物固定点（乗数 $\lambda = e^{2\pi i p/q}$）をもつものからの小さな摂動として得られる半放物型 Hénon 写像の特徴づけ。
• 曲線 $\mathcal{P}_\lambda$ 上の小さなパrameter ドメイン内において、Hénon 写像がジュリア集合 $J$ および $J^+$ で構造的安定であることを証明すること。
• 放物多項式のジュリア集合 $J_p$ 上への自明なファイバー束としての $J^+$ の局所的構造を記述すること。
• 全ジュリア集合 $J$ が商されたソリノイドと同相であり、その連結性と位相的複雑性を示すこと。

提案手法

• 著者らは、Hénon 写像とモデル・ソリノイド写像 $\psi(\zeta,z) = (p(\zeta), a\zeta - \frac{a^2 z}{p'(\zeta)})$ を intertwine する同相写像 $\Phi: J_p \times \mathbb{D}_r \to J^+ \cap V$ を構成する。
• 正規形理論を用いて、半放物固定点近傍での力学を線形化し、小さな $a$ に対して一様な正規化座標を定義する。
• 垂直方向の曲線の空間に弱く収縮する作用素を定義し、その不動点が所望の同相写像をもたらす。
• 無限小計量および垂直・水平の錐を用いて歪みを制御し、$J_p$ 上のファイバーの正則運動を保証する。
• 安定多様体のパrametrizing 写像を構成することで、$J_p$ 上のファイバーが適切に扱われ、$\mathbb{D}_r$ にbiholomorphic であることを保証する。
• モデル写像 $\psi$ が小さな $a$ の間で互いに同相であることが示され、力学の均一な記述が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 半放物型 Hénon 写像の正のジュリア集合 $J^+$ は、関連する放物多項式のジュリア集合上へのファイバー束として実現可能か？
• RQ2 このような Hénon 写像の全ジュリア集合 $J$ は、商されたソリノイドと同相であり、そのことから連結性が保証されるか？
• RQ3 パrameter の小さな摂動が曲線 $\mathcal{P}_\lambda$ 内で行われる場合、$J$ および $J^+$ で構造的安定性を確立できるか？
• RQ4 半放物固定点近傍における $J^+$ の振る舞いを支配する正確な力学的モデルは何か？
• RQ5 $J$ 内のすべての周期点は、半放物固定点を除き鞍点であり、$J = \overline{J^*}$ が成り立つか？

主な発見

• すべての $0 < |a| < \delta$ に対して、ある $\delta > 0$ が存在し、$J^+ \cap V$ は同相写像 $\Phi$ を用いて $J_p \times \mathbb{D}_r$ に同相である。この写像は力学と可換である。
• 写像 $\psi(\zeta,z) = (p(\zeta), a\zeta - \frac{a^2 z}{p'(\zeta)})$ は、$J_p \times \mathbb{D}_r$ 上での力学のモデルとして機能し、ファイバー方向に強い収縮を示す。
• ジュリア集合 $J$ は、商されたソリノイド $\bigcap_{n \geq 0} \psi^{\circ n}(J_p \times \mathbb{D}_r)$ と同相であり、連結性および複雑な位相的構造が確認される。
• すべての周期点は、半放物固定点を除き鞍点であり、$J = \overline{J^*}$ が成り立つ。
• 同相写像 $\Phi$ はファイバー方向で正則であり、パrameter $a$ に関して正則に変化するため、$|a| < \delta$ のドメイン内で $J$ および $J^+$ における構造的安定性が保証される。
• $J^+$ は $\mathbb{C}$ にbiholomorphic なリーマン面によるラミネーションをもち、$J^+$ に台を持つ測度 $\mu^+$ はラミナリティを示し、力学的構造に幾何的性質が存在することを確認する。