[論文レビュー] A Structured Systems Approach for Optimal Actuator-Sensor Placement in Linear Time-Invariant Systems

Sérgio Pequito, Soummya Kar+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2012

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 12被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、構造的システム理論を用いて、線形時不変系における最適なアクチュエータおよびセンサ配置の多項式時間アルゴリズムを提示する。構造的可制御性／可観測性を確保するための専用入力（または出力）の最小数を特定し、グラフ理論的手法（最大マッチングおよび有向グラフ内の強連結成分の分析を含む）を用いて、すべての最小可能構成を特徴付ける。

ABSTRACT

In this paper we address the actuator/sensor allocation problem for linear time invariant (LTI) systems. Given the structure of an autonomous linear dynamical system, the goal is to design the structure of the input matrix (commonly denoted by $B$) such that the system is structurally controllable with the restriction that each input be dedicated, i.e., it can only control directly a single state variable. We provide a methodology that addresses this design question: specifically, we determine the minimum number of dedicated inputs required to ensure such structural controllability, and characterize, and characterizes all (when not unique) possible configurations of the \emph{minimal} input matrix $B$. Furthermore, we show that the proposed solution methodology incurs \emph{polynomial complexity} in the number of state variables. By duality, the solution methodology may be readily extended to the structural design of the corresponding minimal output matrix (commonly denoted by $C$) that ensures structural observability.

研究の動機と目的

• 線形時不変系における構造的可制御性を保証するための専用入力の最小数を特定すること。
• 専用入力制約下で構造的可制御性を達成する入力行列Bのすべての最小可能構成を特徴付けること。
• 大規模システム（例えばマルチエージェントネットワークや電力網など）に適用可能なスケーラブルで多項式時間複雑性を持つ最小入力構成を計算するアルゴリズムを提供すること。
• 双対性を用いて、構造的可観測性のための最小出力（センサ）配置問題への拡張を図ること。

提案手法

• システムのダイナミクスを、システム行列Aと入力行列Bのスパarsityパターンを表す有向グラフ（digraph）でモデル化する。
• システムの状態と入力構造から導出される二部グラフに最大マッチングアルゴリズムを適用し、右未マッチド頂点および自然な制約付き分割を特定する。
• システム有向グラフの強連結成分（SCCs）を計算し、それらをトップリンク付きまたは非トップリンク付きに分類することで、構造的制約を特定する。
• 2つのサブルーチンを用いる：STRATEGY A は特定の頂点を右未マッチドとする最大マッチングを求めるものであり、STRATEGY B はマッチング内で特定の辺をマッチングに含めるように制約を課すものである。
• 右未マッチド頂点と非トップリンクSCCの間の二部グラフを用いて、右未マッチド頂点を非トップリンクSCCに割り当てる可能性を評価し、最大割り当て可能インデックスを構築する。
• 反復的に最小可能入力構成を構築する。まず非トップリンクSCCからの状態を優先して選択し、その後残りの右未マッチド頂点から選択することで、入力数を最小限に抑えつつ構造的可制御性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形時不変系において、構造的可制御性を保証するための専用入力の最小数は何か？
• RQ2 専用入力制約下で最小可制御性を達成するために、どの特定の状態変数を制御する必要があるか？
• RQ3 すべての最小可能入力構成を体系的に特徴付けるおよび生成する方法は何か？
• RQ4 最適な入力配置問題は、状態変数の数に関して多項式時間で解けるか？

主な発見

• 構造的可制御性を達成するための専用入力の最小数は、p = m + β − α で与えられる。ここでmは最大マッチングにおける右未マッチド頂点の数、βは非トップリンクSCCの数、αは最大割り当て可能インデックスである。
• すべての最小可能入力構成は、入力行列Bの列の置換を除いて、アルゴリズム的に特徴付けるおよび生成可能である。
• 提案されたアルゴリズムは多項式時間で実行され、計算量はO(αp|X|√|X||EX,X|)であり、大規模システムにスケーラブルである。
• この手法は、構造的可観測性のための最小出力（センサ）配置問題に対しても双対的に適用可能である。
• 最大割り当て可能インデックスαは、右未マッチド頂点と非トップリンクSCCの間の二部マッチングにより計算され、トップリンク性を最大化するための入力の最適割り当てを可能にする。
• アルゴリズムフレームワークにより、マルチエージェントシステム、電力網、生物学的ネットワークにおける最小制御／推定アーキテクチャの体系的設計が可能になる。