[論文レビュー] A Study of Fatou Set, Julia set and Escaping Set in Nearly Abelian Transcendental Semigroup

Bishnu Hari Subedi, Ajaya Kumar Singh|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2018

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、アーベル的半群の一般化として、ほぼアーベル的超越的半群を導入し、その半群においてファトウ集合、ジュリア集合、そして逃亡集合が完全不変であることを証明している。主な貢献は、有限型または有界型のほぼアーベル的半群に対して、無遊動領域定理を確立するとともに、周期的ファトウ成分を吸引的、超吸引的、放物的、シーゲル、バーカー領域に完全に分類することにある。

ABSTRACT

We mainly generalize the notion of abelian transcendental semigroup to nearly abelian transcendental semigroup. We prove that Fatou set, Julia set and escaping set of nearly abelian transcendental semigroup are completely invariant. We investigate no wandering domain theorem in such a transcendental semigroup. We also obtain results on a complete generalization of the classification of periodic Fatou components.

研究の動機と目的

• アーベル的超越的半群を、主要な力学的不変量を保つように、ほぼアーベル的半群へ一般化すること。
• ほぼアーベル的半群において、ファトウ集合、ジュリア集合、および逃亡集合の完全不変性を確立すること。
• 有限型または有界型のほぼアーベル的超越的半群において、遊動領域の非存在を証明すること。
• ほぼアーベル的半群における周期的ファトウ成分を、標準的なタイプ（吸引的、超吸引的、放物的、シーゲル、バーカー）に分類すること。
• 古典的な特異値および成分の連結性に関する結果を、特に有界型半群に対して、半群の文脈へ拡張すること。

提案手法

• 生成子が有限次元の摂動を除いて可換である半群として、ほぼアーベル的超越的半群を定義し、アーベル的半群の一般化とする。
• 任意のほぼアーベル的半群 $ S $ に対して、すべての $ f \to S $ に対して $ F(S) = F(f) $ が成り立つという鍵となる結果を用い、個々の関数から半群への力学的性質の移行を可能にする。
• 正規族および半群力学に関する既知の定理、特にエレメンコ＝リュービッチおよびスパイゼルクラスの結果を応用して、ファトウ集合およびジュリア集合を分析する。
• 共有限指数部分半群の概念を活用し、ファトウ成分の前向き軌道を研究し、その分類を安定化する。
• 特異値（臨界値および漸近的値）の構造とその反復における振るまいを用いて、有界なファトウ成分が漸近的値を含まないことを証明する。
• 既存の個々の超越関数に関する古典的分類定理（例：[13] より）を、$ F(S) = F(f) $ を通じて半群の文脈へ適応する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超越的半群がどのような条件下で無遊動領域定理を満たすか。
• RQ2 ほぼアーベル的半群において、ファトウ集合、ジュリア集合、および逃亡集合はどのように振る舞うか。
• RQ3 古典的力学における周期的ファトウ成分の分類は、ほぼアーベル的超越的半群へ拡張可能か。
• RQ4 個々の生成子の特異値と、全体の半群のファトウ集合との関係は何か。
• RQ5 有界型半群においてバーカー領域が存在しないという性質は、ほぼアーベル的設定へ拡張可能か。

主な発見

• ほぼアーベル的超越的半群のファトウ集合、ジュリア集合、および逃亡集合は、半群に属する任意の元の作用において完全不変である。
• 任意の有限型または有界型のほぼアーベル的超越的半群 $ S $ に対して、すべての $ f \to S $ に対して $ F(S) = F(f) $ が成り立つ。これは、半群が任意の単一の生成子の力学的構造を引き継ぐことを示唆する。
• 半群 $ S $ には遊動領域が存在しない。これは、スパイゼルまたはエレメンコ＝リュービッチクラスに属する個々の関数から得られる無遊動領域結果を移行することで確立される。
• ファトウ集合 $ F(S) $ のすべての成分は単連結である。なぜなら $ F(S) = F(f) $ であり、$ f $ が有界型の場合、$ F(f) $ のすべての成分が単連結であるからである。
• すべての安定なファトウ成分が有界であれば、$ F(S) $ は漸近的値を含まない。これは、有界型クラスに属する個々の生成子から引き継がれる性質である。
• 半群 $ S $ の周期的ファトウ成分は、吸引的、超吸引的、放物的、シーゲル、またはバーカー領域に分類され、有界型半群ではバーカー領域が除外される。