[論文レビュー] A sufficient condition to a regular set of positive measure on RCD spaces

Yu Kitabeppu|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 24被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、$\textsf{RCD}^*(K,N)$ 空間における正の測度を持つ正則集合の十分条件を確立する。すなわち、次元 $k = [N]$ に対する正則集合 $\fancyscript{R}_k$ が空でないならば、その測度は正である。主な貢献は、$\textsf{RCD}$ 空間の次元を、$\fancyscript{R}_k$ が非空である最大の $k$ として定義し、点付き Gromov-Hausdorff 収束の下でこの次元の下方連続性を示したことにある。

ABSTRACT

In this paper, we study regular sets in metric measure spaces with bounded Ricci curvature. We prove that the existence of a point in the regular set of the highest dimension implies the positivity of the measure of such regular set. Also we define thee dimension of metric measure spaces and prove the lower semicontinuity of that under the Gromov-Hausdorff convergence.

研究の動機と目的

• 測度論的距離空間幾何学における根本的な未解決問題である、$\textsf{RCD}^*(K,N)$ 空間における最大次元の正則集合が正の測度を持つかどうかを解明すること。
• 最大の $k$ に対して $\fancyscript{R}_k \neq \emptyset$ となるような $k$ を用いて、$\textsf{RCD}^*(K,N)$ 空間に対する一貫した次元の定義を提示し、リッチ極限空間の概念を拡張すること。
• 点付き Gromov-Hausdorff 収束の下でこの次元の下方連続性を確立すること。これは、安定性の重要な性質である。
• 最適輸送の技術を用いて、$\textsf{RCD}$ 空間上の幾何解析と、既存のリッチ極限空間理論および解析的次元理論を結びつけること。

提案手法

• 正則集合 $\fancyscript{R}_k$ を、接錐が $\fancyscript{R}^k$ に等長である点として定義し、$\textsf{RCD}^*(K,N)$ 空間における測度論的性質を考察する。
• $L^2$-強いテスト関数の収束およびチーレエネルギーを用いて、ディリクレエネルギーの収束における振る舞いを分析する。
• ビショップ＝グロモフの不等式を用いて、Gromov-Hausdorff 収束の下で球上の測度収束を保証する。
• エネルギー測度 $\fancyscript{Ch}_{(x,r)}(f)$ の収束および関数の $\fancyscript{L}^2$-強い収束を用いて、極限空間から近似列への正則性の持ち上げを行う。
• 点付き Gromov-Hausdorff 収束の下での $\textsf{RCD}^*(K,N)$ 条件の安定性を応用し、極限から列への幾何的性質の転送を行う。
• エネルギー形式におけるほぼ正規直交な勾配を持つ $k$ 個の関数の存在に依拠し、$k$ 次元の接構造の存在を示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ある $\textsf{RCD}^*(K,N)$ 空間において、次元 $k = [N]$ の正則集合 $\fancyscript{R}_k$ が存在するならば、$m(\fancyscript{R}_k) > 0$ であると結論づけられるか？
• RQ2 $\textsf{RCD}^*(K,N)$ 空間の次元を、$\fancyscript{R}_k \neq \emptyset$ となる最大の $k$ として一貫して定義できるか？
• RQ3 $\textsf{RCD}^*(K,N)$ 空間の次元は、点付き Gromov-Hausdorff 収束の下で下方連続的か？
• RQ4 正則集合によって定義される次元は、余接バンドルの $L^2$-セクションによって定義される解析的次元とどのように関係するか？

主な発見

• ある $\textsf{RCD}^*(K,N)$ 空間において $\fancyscript{R}_k \neq \emptyset$ が $k = [N]$ に対して成り立つならば、$m(\fancyscript{R}_k) > 0$ である。これは、最大正則集合の正の測度のための十分条件を提供する。
• $\textsf{RCD}^*(K,N)$ 空間の次元は、$\fancyscript{R}_k \neq \emptyset$ となる最大の $k$ として一意に定義可能であり、これは $m(\fancyscript{R}_k) > 0$ となる最大の $k$ と一致する。
• 点付き Gromov-Hausdorff 収束の下で次元は下方連続的である：$\textsf{dim}(X_\fancyscript{infty}) \leq \liminf_{n \to \infty} \textsf{dim}(X_n)$。
• この結果により、$N \in \mathbb{N}$ のとき、$\textsf{dim}(X,d,m) = N-1$ であることと、ハウスドルフ次元 $\textsf{dim}_H(X,d) = N-1$ であることが同値であることが示され、De Philippis と Gigli の結果と組み合わせて成り立つ。
• 本稿で定義された幾何的次元は、Han が $L^2$-セクションによって定義する解析的次元と等価である。これは [GPequiv] の同値性結果により示される。
• 証明により、極限空間の次元が $k$ であるならば、十分大きな $n$ に対して近似空間 $X_n$ も次元が少なくとも $k$ 以上であることが示され、正の測度を持つ正則集合の保存性に起因する。