[論文レビュー] A superconvergent HDG method for the Incompressible Navier-Stokes Equations on general polyhedral meshes

Weifeng Qiu, Ke Shi|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2015

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 28被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、一般の多面体メッシュ上での定常不圧縮性ナビエ＝ストークス方程式に対して、超収束性を示すハイブリッド化不連続ガレルキン（HDG）法を提示する。速度に $k+1$ 次多項式、速度勾配に $k$ 次多項式、圧力に $k$ 次多項式、数値トレースに $k$ 次多項式を用いることで、$k \geq 1$ の条件下で、後処理なしにすべての変数について最適な $L^2$ 収束順序 $k+1$ を達成し、速度に関しては $L^2$-ノルムで $k+2$ 順序の超収束を示す。

ABSTRACT

We present a superconvergent hybridizable discontinuous Galerkin (HDG) method for the steady-state incompressible Navier-Stokes equations on general polyhedral meshes. For arbitrary conforming polyhedral mesh, we use polynomials of degree k+1, k, k to approximate the velocity, velocity gradient and pressure, respectively. In contrast, we only use polynomials of degree k to approximate the numerical trace of the velocity on the interfaces. Since the numerical trace of the velocity field is the only globally coupled unknown, this scheme allows a very efficient implementation of the method. For the stationary case, and under the usual smallness condition for the source term, we prove that the method is well defined and that the global L2-norm of the error in each of the above-mentioned variables and the discrete H1-norm of the error in the velocity converge with the order of k+1 for k>=0. We also show that for k>=1, the global L2-norm of the error in velocity converges with the order of k+2. From the point of view of degrees of freedom of the globally coupled unknown: numerical trace, this method achieves optimal convergence for all the above-mentioned variables in L2-norm for k>=0, superconvergence for the velocity in the discrete H1-norm without postprocessing for k>=0, and superconvergence for the velocity in L2-norm without postprocessing for k>=1.

研究の動機と目的

• 一般の多面体メッシュ上での不圧縮性ナビエ＝ストークス方程式に対して、高次元かつ効率的なHDG法の開発。
• 後処理なしに $L^2$ および離散 $H^1$ ノルムにおいて速度の超収束を達成すること。
• 最小限の正則性仮定のもとで、速度、速度勾配、圧力、数値トレースのすべての変数について最適収束率を保証すること。
• 非凸を含む一般多面体要素へのHDG法の適用範囲を拡張しつつ、高次元精度を維持すること。

提案手法

• 速度に $k+1$ 次多項式、速度勾配と圧力に $k$ 次多項式、要素界面における速度の数値トレースに $k$ 次多項式を用いる。
• 安定性および収束特性を向上させるために、修正された数値フラックスを導入する。
• 速度と数値トレースを用いた局所的な要素単位の解法により、速度勾配を再構成する。
• 未知数がメッシュのスケルトン上での数値トレースを通じてのみ結合されるハイブリッド化された弱形式により、スキームを定式化する。
• 数値トレースを唯一のグローバルに結合される変数として解くことで、グローバル結合を最小限に抑え、効率的な解法手順を可能にする。
• 与えられた多項式近似のもとで、適切な定式化と収束を保証するため、小さなデータ条件を採用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般多面体メッシュ上での不圧縮性ナビエ＝ストークス方程式に対して、超収束性を示すHDG法を構築可能か？
• RQ2 他の変数に $k$ 次多項式を用いながら、速度近似空間を $k+1$ 次に高めることで、最適かつ超収束性の収束率が得られるか？
• RQ3 $k \geq 1$ 時に、後処理なしで速度の $L^2$-ノルムにおいて超収束が達成可能か？
• RQ4 一般多面体メッシュ上でも、外力項の小さな条件のもとで、この方法は適切に定義され、収束するか？

主な発見

• すべての $k \geq 0$ に対して、速度、速度勾配、圧力、数値トレースの $L^2$-ノルム収束が最適な順序 $k+1$ を達成する。
• $k \geq 1$ 時に、速度の $L^2$-ノルム誤差が順序 $k+2$ で収束し、後処理なしに超収束を示す。
• $k \geq 0$ 時に、速度の離散 $H^1$-ノルム誤差が順序 $k+1$ で収束し、後処理なしに超収束を示す。
• 任意の適合多面体メッシュに対して、外力項の標準的な小さな条件のもとで、方法は適切に定義され、収束する。
• 解析は形状正則性を持つ、可能であれば非凸な多面体要素に対しても成立し、HDG法の適用範囲を一般メッシュへ拡張する。