[論文レビュー] A Superficial Working Guide to Deformations and Moduli

Fabrizio Catanese|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 110被引用数 40

ひとこと要約

この論文は、複素代数的表面の変形理論とモジュライ空間について、包括的でアクセスしやすいガイドを提供する。局所的変形理論（キュランシ空間を介して）とグローバルなモジュライ構造との間の相互作用に重点を置いている。最小の一般型表面で、その canonical モデルがアーベル多様体の有限二重被覆であるようなものに対して、対応するモジュライ空間の成分が非可約であり、次元が $4\chi(S) + 2$ に等しく、Kuranishi 空間が滑らかで、微分同相な表面が同じ成分に属することを確立している。

ABSTRACT

This is the first part of a guide to deformations and moduli, especially viewed from the perspective of algebraic surfaces (the simplest higher dimensional varieties). It contains also new results, regarding the question of local homeomorphism between Kuranishi and Teichmueller space, and a survey of new results with Ingrid Bauer, concerning the discrepancy between the deformation of the action of a group G on a minimal models S, respectively the deformation of the action of G on the canonical model X. Here Def(S) maps properly onto Def(X), but the same does not hold for pairs: Def(S,G) does not map properly onto Def(X,G). Indeed the connected components of Def(S), in the case of tertiary Burniat surfaces, only map to locally closed sets. The last section contains anew result on some surfaces whise Albanese map has generic degree equal to 2.

研究の動機と目的

• 複素代数的表面の変形理論とモジュライ空間についての実用的理解を獲得すること、特に canonical モデルおよび最小モデルとの関係を対象とする。
• ティヒミュラー空間とキュランシ空間の関係を明確化すること、特に Wavrik 条件下での関係を対象とする。
• 一般型表面のモジュライ空間の構造を調査すること、特に canonical モデルがアーベル多様体の二重被覆である場合に焦点を当てる。
• 自己同型と特異点がモジュライ空間の構造と連結成分に与える役割を分析すること。
• 幾何学的およびコhomオロジー的手法を用いて、モジュライ空間が滑らかで、成分が非可約となる条件を確立すること。

提案手法

• Kodaira-Spencer-Kuranishi 理論を用いて局所的変形を分析し、キュランシ空間を局所的モジュライ空間として構成する。
• 幾何学的不変式論と安定性条件を適用し、特に Gieseker の多様体の多様体的安定性の漸近的性質を用いて、モジュライ空間の存在を保証する。
• $Δ$-Gorenstein スムージングおよび正規交叉分岐をもつ対 $(Y,D)$ の変形理論を用いて、コンパクト化と境界挙動を研究する。
• コhomオロジー群 $H^i(\Theta_Y(-\log D_1, \dots, -\log D_h))$ 及びその Serre 対称性を用いて分岐被覆を分析し、特に二重被覆の文脈で検討する。
• Horikawa の公式を適用し、$K_S^2 = 4\chi(S)$ が分岐軌跡に無視可能な特異点しか持たないことを示し、被覆上では有理数特異点が生じることを導く。
• Mumford の基礎的業績にインspされ、パラメータ空間の群作用による商を用いた関手的アプローチを用いてモジュライを扱う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ティヒミュラー空間が局所的にキュランシ空間に位相同相となるのはいつか？ そして、その条件は何か？
• RQ2 canonical モデルがアーベル多様体の有限二重被覆であるような最小の一般型表面のモジュライ空間の次元と構造は何か？
• RQ3 自己同型は canonical モデルと最小モデルの変形理論およびモジュライ構造にどのように影響を与えるか？
• RQ4 一般型表面のモジュライ空間の連結成分の数は、特に canonical 緩和子が ample である場合に何によって決定されるか？
• RQ5 canonical モデルのキュランシ空間が滑らかである条件は何か？ そして、これはグローバルなモジュライ空間とどのように関係するか？

主な発見

• canonical モデルがアーベル多様体の有限二重被覆であり、分岐 divisor が型 $(2d_1, 2d_2)$ であるような最小の一般型表面に対して、モジュライ空間には次元が $4d_1d_2 + 2 = 4\chi(S) + 2$ の非可約成分が存在する。
• 二重被覆仮定の下で、canonical モデル $X$ のキュランシ空間 $\mathrm{Def}(X)$ は常に滑らかである。
• このような表面 $S$ と微分同相な任意の表面は、モジュライ空間の同じ非可約成分 $\mathcal{N}$ に属する。
• $K_S^2 = 4\chi(S)$ であることは、分岐軌跡に無視可能な特異点しか持たないことを意味し、したがって被覆上では有理数特異点が生じる。
• モジュライ空間が複数の非可約成分を持つ反例が存在する（例：$p_g = q = 2$, $K^2 = 6$ の表面では3つの成分を持つ）。これは二重被覆仮定が必要であることを示している。
• $\mathbb{Q}$-Gorenstein スムージング理論および正規交叉分岐を持つ対 $(Y,D)$ の変形理論は、モジュライ空間のコンパクト化と境界挙動を研究するための道具を提供する。