[論文レビュー] A global Torelli theorem for hyperkahler manifolds

Misha Verbitsky|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 42被引用数 86

ひとこと要約

本稿では、双曲的ケーラー多様体の写像類群を $SO(3,b_2-3)$ 内の算術的格子と同値とし、周期写像が双胞論的ティッヒミュラー空間の連結成分と周期空間 $SO(b_2-3,3)/SO(2) imes SO(b_2-3,1)$ の間に同型を誘導することを示すことにより、双曲的ケーラー多様体に対するグローバル Torelli 定理を確立する。これにより、周期空間を算術的群で割った商としてのモジュライ空間の記述が得られる。

ABSTRACT

A mapping class group of an oriented manifold is a quotient of its diffeomorphism group by the isotopies. We compute a mapping class group of a hypekahler manifold $M$, showing that it is commensurable to an arithmetic subgroup in SO(3, b_2-3). A Teichmuller space of $M$ is a space of complex structures on $M$ up to isotopies. We define a birational Teichmuller space by identifying certain points corresponding to bimeromorphically equivalent manifolds, and show that the period map gives an isomorphism of the birational Teichmuller space and the corresponding period space $SO(b_2-3, 3)/SO(2) imes SO(b_2 -3, 1)$. We use this result to obtain a Torelli theorem identifying any connected component of birational moduli space with a quotient of a period space by an arithmetic subgroup. When $M$ is a Hilbert scheme of $n$ points on a K3 surface, with $n-1$ a prime power, our Torelli theorem implies the usual Hodge-theoretic birational Torelli theorem (for other examples of hyperkahler manifolds the Hodge-theoretic Torelli theorem is known to be false).

研究の動機と目的

• 双曲的ケーラー多様体の写像類群を計算し、$SO(3,b_2-3)$ 内の算術的格子と同値であることを示す。
• 双ミロモルフィックに同値な複素構造を同定することで、ティッヒミュラー空間を双胞論的ティッヒミュラー空間に精錬する。
• 周期写像を用いて、双胞論的ティッヒミュラー空間の連結成分と周期空間 $SO(b_2-3,3)/SO(2)\times SO(b_2-3,1)$ の間に同型を確立する。
• 双胞論的モジュライ空間を周期空間を算術的群で割った商として記述することにより、グローバル Torelli 型定理を確立する。
• $n-1$ が素数の累乗であるとき、$K3^{[n]}$ に対してホッジ論的双胞論的 Torelli 定理を回復する。一般の双曲的ケーラー多様体では、この定理は一般に成り立たない。

提案手法

• 微分同相型群をホエリプティックにホモトピー群で割った写像類群を定義し、$H^2(M,\mathbb{Z})$ 上の Beauville-Bogomolov-Fujiki (BBF) 形を用いてその構造を計算する。
• 複素構造の空間をホエリプティックに同値とみなすティッヒミュラー空間として定義し、双ミロモルフィックに同値な点を同定することで、それを双胞論的ティッヒミュラー空間に精錬する。
• 周期写像（複素構造を $\mathbb{P}(H^2(M,\mathbb{C}))$ 内の直線 $[\Omega]$ に送る写像）を用い、双胞論的ティッヒミュラー空間の各連結成分から周期領域 $SO(b_2-3,3)/SO(2)\times SO(b_2-3,1)$ への同型を示す。
• 部分ツイスターノルムを用いて周期空間上に部分ツイスター距離 $d_{tw}$ を構成し、$(\operatorname{\mathbb{P}er}, d_{tw})$ が $G/G_x$ に位相的に同相であることを示す。ここで $G$ は $SO(H^2(M,\mathbb{R}),q)$ の単位成分である。
• Gleason-Palais の定理を適用し、$G$ に部分ツイスター距離を導入したとき、この群が位相的多様体であることを示す。これにより、周期空間に多様体構造が誘導される。
• $K3^{[n]}$ のモノドロミー群と GHK 直線の構造を用いて、$K3$ 表面の点のヒルベルトスキームの場合のグローバル Torelli 性質を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双曲的ケーラー多様体の写像類群の構造は何か？また、算術的格子とどのように関係するか？
• RQ2 複素構造のティッヒミュラー空間は、双ミロモルフィック同値性を考慮することでどのように精錬できるか？その結果得られる双胞論的ティッヒミュラー空間の幾何はどのようなものか？
• RQ3 周期写像は、型 $SO(b_2-3,3)/SO(2)\times SO(b_2-3,1)$ の対称空間と双胞論的ティッヒミュラー空間の間に同型を誘導するか？
• RQ4 双胞論的モジュライ空間を周期空間を算術的群で割った商として実現することで、双曲的ケーラー多様体に対してグローバル Torelli 定理を確立できるか？
• RQ5 $n-1$ が素数の累乗であるとき、$K3^{[n]}$ に対してホッジ論的 Torelli 定理は成り立つか？また、これはグローバル Torelli 結果からどのように導かれるか？

主な発見

• 双曲的ケーラー多様体の写像類群は、$SO(3,b_2-3)$ 内の算術的格子と同値であり、その対称性の明確な代数的記述が得られる。
• 周期写像は、双胞論的ティッヒミュラー空間の各連結成分と対称空間 $SO(b_2-3,3)/SO(2)\times SO(b_2-3,1)$ の間に同型を誘導し、グローバル Torelli 型対応を確立する。
• 双曲的ケーラー多様体の双胞論的モジュライ空間は、周期空間を算術的群で割った商と同型であり、グローバルなモジュライ記述が得られる。
• $n-1$ が素数の累乗である $K3^{[n]}$ に対しては、グローバル Torelli 定理からホッジ論的双胞論的 Torelli 定理が従い、一般の双曲的ケーラー多様体ではこの定理は一般に成り立たない。
• 周期空間 $\operatorname{\mathbb{P}er}$ に部分ツイスター距離 $d_{tw}$ を導入したとき、$(\operatorname{\mathbb{P}er}, d_{tw})$ は $G/G_x$ に位相的に同相であり、Gleason-Palais の定理によりこの空間は位相的多様体である。
• 部分ツイスター距離の構成と、周期空間への多様体構造の証明には、写像類群の双リプシッツ作用とコンパクト部分集合の有限被覆次元が関与している。