[論文レビュー] A supplement to a theorem of Merker and Porten: a short proof of Hartogs' extension theorem for $(n-1)$-complete complex spaces

Mihnea Colţoiu|ArXiv.org|Nov 14, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、特異点の解消とTakegoshiの相対的消滅定理を用いた$\bar{\partial}$-法により、コhomologically $(n-1)$-完全な複素空間に対するHartogsの拡張定理の1ページにわたる簡潔な証明を提供する。$D\setminus K$ が連結であるとき、$D\setminus K$ 上の正則関数が $D$ に拡張されることを示しており、従来の結果を特異的空間へ一般化するが、Morse理論や長大なコhomological道具を用いない。

ABSTRACT

We give a short proof for the Hartogs's extension theorem on (n-1)-complete complex spaces.

研究の動機と目的

• コhomologically $(n-1)$-完全な複素空間に対するHartogsの拡張定理の短く、自己完結的な証明を提供すること。
• 従来の滑らかな多様体を超えて、技術的負担を最小限に抑えて特異的複素空間へ古典的Hartogsの定理を拡張すること。
• 従来の研究で用いられる長大なMorse理論的または$\bar{\partial}$-コhomologicalな議論を回避すること。
• Takegoshiの相対的消滅定理が特異的複素幾何学における拡張定理の証明に応用可能であることを示すこと。

提案手法

• 正則な複素空間 $X$ に対して、特異点の解消 $\pi: \tilde{X} \to X$ を用いる。
• Takegoshiの消滅定理を適用し、$i \geq 1$ に対して $R^i\pi_*K_{\tilde{X}} = 0$ を示し、コhomology群の同型を導く。
• 空間 $X$ のコhomological $(n-1)$-完全性を用いて、$i \geq n-1$ に対して $H^i(X, \pi_*K_{\tilde{X}}) = 0$ を得る。これより、$i \geq n-1$ に対して $H^i(\tilde{X}, K_{\tilde{X}}) = 0$ を得る。
• Serreの双対性を用いて、コンパクト台付きコhomologyに対して $H^1_c(\tilde{X}, \mathcal{O}_{\tilde{X}}) = 0$ を結論づける。
• Ehrenpreisの結果（およびH\
• research_questions

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Morse理論に依存せずに、$\bar{\partial}$-法を用いて特異的$(n-1)$-完全な複素空間に対しHartogsの拡張定理を証明できるか？
• RQ2 Takegoshiの相対的消滅定理は、特異的複素幾何学における拡張定理の短い証明を可能にするか？
• RQ3 $q$-完全性ではなく、コhomological $(n-1)$-完全性のもとで拡張性が保証されるか？
• RQ4 $D\setminus K$ が連結で、$X$ がコhomologically $(n-1)$-完全なとき、$D\setminus K$ 上の正則関数が $D$ に拡張されることが保証されるか？
• RQ5 $X$ の正則性と同型 $\pi_*\mathcal{O}_{\tilde{X}} = \mathcal{O}_X$ を用いて、解消から元の空間への拡張性を効果的に移すことができるか？

主な発見

• 本稿は、$X$ がコhomologically $(n-1)$-完全な複素空間であり、$D \subset X$ が開集合で、$D\setminus K$ が連結であるとき、$D\setminus K$ 上の任意の正則関数が $D$ に拡張されることを確立する。
• 証明は、$H^1_c(\tilde{X}, \mathcal{O}_{\tilde{X}})$ の消滅に依存しており、これはTakegoshiの定理とSerreの双対性から導かれる。
• 証明は $D$ が相対コンパクトであると仮定しないで成立し、以前の結果を一般化する。
• MerkerとPortenの50ページにわたる技術的証明を避けるために、特異点の解消と既知の消滅定理を用いる。
• 結果は特異点をもつ正則な複素空間に適用可能であり、Hartogsの定理を滑らかな多様体を超えて拡張する。
• 鍵となる洞察は、$\pi_*\mathcal{O}_{\tilde{X}} = \mathcal{O}_X$ により、$\tilde{X}$ 上の正則関数を $X$ 上に持ち上げられることにある。