[論文レビュー] A Supremum-Norm Based Test for the Equality of Several Covariance Functions

Jia Guo, Bu Zhou+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2016

Statistical Methods and Inference参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、関数データにおける複数の共分散関数の等価性を評価するための上限ノルムに基づく検定（Tmax）を提案する。この手法は、個々の共分散推定値とプールド共分散推定値の間の最大偏差を活用する。従来のL2ノルムに基づく検定と比較して、特に相関が高い状況や正規性を満たさない状況下でも優れた検出力を持つ。漸近的理論とブートストラップ法を用いて帰無仮説の分布を近似し、シミュレーションとNOx排出量および成長曲線の実データを用いた検証によって有効性が確認された。

ABSTRACT

In this paper, we propose a new test for the equality of several covariance functions for functional data. Its test statistic is taken as the supremum value of the sum of the squared differences between the estimated individual covariance functions and the pooled sample covariance function, hoping to obtain a more powerful test than some existing tests for the same testing problem. The asymptotic random expression of this test statistic under the null hypothesis is obtained. To approximate the null distribution of the proposed test statistic, we describe a parametric bootstrap method and a non-parametric bootstrap method. The asymptotic random expression of the proposed test is also studied under a local alternative and it is shown that the proposed test is root-$n$ consistent. Intensive simulation studies are conducted to demonstrate the finite sample performance of the proposed test and it turns out that the proposed test is indeed more powerful than some existing tests when functional data are highly correlated. The proposed test is illustrated with three real data examples.

研究の動機と目的

• 関数データにおける複数の共分散関数の等価性を評価するための強力で非パラメトリックな検定の不足を補うこと。
• 高相関性下で検出力が低下し、正規性仮定を要する従来のL2ノルムに基づく検定の限界を克服すること。
• 非正規または高相関なデータ下でも、共分散関数の局所的差異を効果的に検出できる検定を開発すること。
• 実用的推論を可能にするために、帰無仮説の分布近似のための漸近的理論とブートストラップ法を提供すること。
• 環境科学および医療分野の実データ応用を含むシミュレーションスタディと実データ分析を通じて、検定の性能を検証すること。

提案手法

• 検定統計量を、個々の標本共分散関数とプールド共分散関数の差の二乗和の上限ノルムとして定義する。
• 等しい共分散関数の帰無仮説の下での検定統計量の漸近的分布を導出する。
• 帰無分布の近似のため、パラメトリックブートストラップとノンパラメトリックブートストラップの両手法を提案する。
• 局所的対立仮説の下での漸近的検出力を確立し、検定が√n一致性を示すことを示す。
• 平均関数と被験者効果関数を含む関数データモデルを用い、トレースが有限でかつ二乗可積分な平均関数を仮定する。
• 3次元可視化と従来のL2ノルム検定（L2_nv, L2_br, L2_rp）とのp値比較を用いて、実データセットに検定を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数データが高相関である場合、上限ノルムに基づく検定は、従来のL2ノルム検定を上回る性能を示すか？
• RQ2 L2ベースの検定が失敗する非正規関数データ下でも、提案手法は良好な性能を維持するか？
• RQ3 等しい共分散関数の帰無仮説下での検定統計量の漸近的分布は、どのように振る舞うか？
• RQ4 パラメトリックおよびノンパラメトリックブートストラップ法は、検定統計量の帰無分布を信頼性高く近似できるか？
• RQ5 NOx排出量や成長曲線などの実世界の関数データにおいて、有意義な共分散構造の差を検出できる十分な検出力を有しているか？

主な発見

• NOx排出量データに対して、Tmax検定はp値0.006を達成し、稼働日と非稼働日の間で共分散関数の有意差があることを示した。一方、L2ベースの検定ではp値が0.11以上であった。
• バークレー成長データでは、Tmaxのp値は0.0453であり、等しい共分散関数の帰無仮説は棄却された。一方、L2ベースの検定ではp値が0.45以上であり、差を検出できなかった。
• 帰無仮説下でのTmaxの漸近的分布が導出され、検定の理論的裏付けが得られた。
• 局所的対立仮説下で、検定が√n一致性を示すことが示され、微小なずれを検出する強力な性能が裏付けられた。
• 実データにおけるTmaxおよびL2_rpのp値を算出するためにノンパラメトリックブートストラップ法が用いられ、10,000回のブートストラップ再サンプリングにより安定性が確保された。
• シミュレーションスタディにより、TmaxがL2_nv、L2_br、L2_rpを上回る検出力を示すことが確認された。特に、関数データが高相関または非正規である場合に顕著であった。