[論文レビュー] A surgery formula for the asymptotics of the higher dimensional Reidemeister torsion and Seifert fibered spaces

Yoshikazu Yamaguchi|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、Seifert被覆3次元多様体における高次元 Reidemeister torsion の漸近的挙動について、手術公式を確立する。torsion の対数が次元 $2N$ に対して線形に増加することを示し、主要係数が有限個の値に収束することを示す。この係数の最大値は $-\chi\log 2$ であり、Seifert 純粋多様体の $\mathrm{SU}(2)$-表現多様体の次元が最大の成分にちょうど一致する。

ABSTRACT

We give a surgery formula for the asymptotic behavior of the sequence given by the logarithm of the higher dimensional Reidemeister torsion. Applying the resulting formula to Seifert fibered spaces, we show that the growth of the sequences has the same order as the indices and we give the explicit values for the limits of the leading coefficients. There are finitely many possibilities as the limits of the leading coefficients for a Seifert fibered space. We also show that the maximum is given by the product of (-log 2) and the Euler characteristic of the base orbifold for a Seifert fibered space. These limits of the leading coefficients give a locally constant function on a character variety. This function takes the maximum only on the top-dimensional components of the SU(2)-character varieties for Seifert fibered homology spheres.

研究の動機と目的

• Dehn充填によって得られる3次元多様体における高次元 Reidemeister torsion の漸近的挙動の手術公式を導出すること。
• Seifert被覆空間における $\mathrm{SL}_{2}(\mathbb{C})$-表現の下での torsion の対数の漸近的増加を分析すること。
• torsion の対数の主要係数の極限を特定し、その最大値を同定すること。
• Seifert 純粋多様体の $\mathrm{SU}(2)$-表現多様体の次元が最大の成分にのみ、最大の主要係数 $-\chi\log 2$ が達成されることを示すこと。

提案手法

• $\mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$-表現から誘導される twisted chain complex における非巡回性条件の下で、$\log|\mathrm{Tor}(M;\rho_{2N})|$ の漸近的挙動の手術公式を構築すること。
• 表面束と実円筒への標準的分解を用いて、Seifert被覆空間に手術公式を適用すること。
• 各 $j$ 番目の実円筒の中心 $\ell_j$ に対して $\rho(\ell_j)$ の位数の半分を $\lambda_j$ と定義し、漸近的係数を計算すること。
• 式 $\lim_{N\to\infty} \frac{\log|\mathrm{Tor}|}{2N} = \lim_{N\to\infty} \frac{\log|\mathrm{Tor}(M;\rho_{2N})|}{2N} - \log 2 \sum_{j=1}^m \frac{1}{\lambda_j}$ を用いて、Dehn充填後の主要係数を計算すること。
• 表現多様体の解析を通じて、最大係数 $-\chi\log 2$ が達成される成分を特定すること。
• Seifert 純粋多様体の $\mathrm{SU}(2)$-表現多様体において、最大係数が次元が最大の成分にのみ達成されることを検証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Seifert被覆空間における高次元 Reidemeister torsion の対数の漸近的増加率は、次元 $2N$ が増加するにつれてどのように変化するか？
• RQ2 Dehn充填の下で、torsion の対数の主要係数はどのように振る舞い、その極限値は何かを決定する要因は何か？
• RQ3 すべての表現に対して、$\log|\mathrm{Tor}|/(2N)$ の主要係数の最大可能な値は何か？ そしてそれはどこで達成されるか？
• RQ4 Seifert 純粋多様体において、最大の主要係数 $-\chi\log 2$ は $\mathrm{SU}(2)$-表現多様体のどの成分で達成されるか？
• RQ5 各表現にその主要係数の極限値を割り当てる関数は、表現多様体上で局所定数関数か？

主な発見

• Seifert被覆空間における $\log|\mathrm{Tor}(M;\rho_{2N})|$ の漸近的増加は $N$ に対して線形であり、$2N$ の係数は有限個の値に収束する。
• 主要係数の最大値は $-\chi\log 2$ であり、$\chi$ は底面の orbifold のオイラー標数である。
• この最大値は、Seifert 純粋多様体の $\mathrm{SU}(2)$-表現多様体の次元が最大の成分にのみ達成される。
• 例 $M(\frac{2}{1}, \frac{3}{-2}, \frac{5}{-2}, \frac{7}{4})$ において、$\xi_4 = 0$ のとき、極限は $-\chi\log 2 - \frac{6}{7}\log 2$ となり、最大値より厳密に減少することが示される。
• 例 $M(\frac{5}{3}, \frac{6}{-1}, \frac{7}{-3})$ において、最大値 $-\chi\log 2$ は $X_1$ で達成されるが、$X_2$ では $-\chi\log 2 - \frac{1}{3}\log 2$ というより小さい値が得られ、最大値がすべての成分で達成されないことが確認される。
• 各表現にその主要係数の極限値を割り当てる関数は、表現多様体上で局所定数関数であり、最大値 $-\chi\log 2$ は次元が最大の成分にのみ達成される。