[論文レビュー] Twisted cohomology for hyperbolic three manifolds

Pere Menal-Ferrer, Joan Porti|Osaka City University (Osaka City University)|Jan 13, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 17被引用数 17

ひとこと要約

この論文は、SL(2,C) の有限次元複素表現によって係数がねじれた完全で非初等的かつ位相的に有限な双曲的3次元多様体のねじれたコホモロジー群について、消滅定理を確立する。Matsumoto-Murakamiの技法とRaghunathanの消滅定理を用いて、偶数次元表現 $ ho_{2k}$ に対して、コホモロジー群 $H^*(M; E_{ ho_{2k}})$ が完全に消えることを証明する。これは、$ textrm{SL}(n, cdot)$ における関連する表現の強い局所的・無限小的剛性結果を意味する。これは古典的な剛性定理を高次元表現へと拡張するものである。

ABSTRACT

For a complete hyperbolic three manifold M, we consider the representations of its fundamental group obtained by composing a lift of the holonomy with complex finite dimensional representations of SL(2,C). We prove a vanishing result for the cohomology of M with coefficients twisted by these representations, using techniques of Matsushima-Murakami. We give some applications to local rigidity.

研究の動機と目的

• 完全で、有限体積、双曲的3次元多様体 $M$ に対して、$\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$ の有限次元複素表現を係数とするねじれたコホモロジー群の消滅結果を確立すること。
• Weil や Garland のような古典的剛性定理を、コホモロジー的アプローチにより高次元表現 $\rho_n$ へと拡張すること。
• 双曲的3次元多様体の境界および端のコホモロジーを解析することで、グローバルな消滅および剛性性質を導出すること。
• 位相的に有限かつ非初等的条件下で、$\rho_n$ の特徴関数多様体 $X(M, \mathrm{SL}(n,\mathbb{C}))$ における $\chi_{\rho_n}$ が滑らかであり、接空間が $H^1(M; E_{\mathrm{Ad} \circ \rho_n})$ と同型であることを証明すること。

提案手法

• スピン構造を用いて、ホロノミー表現 $\pi_1(M) \to \mathrm{PSL}(2,\mathbb{C})$ を $\widetilde{\mathrm{Hol}}: \pi_1(M) \to \mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$ に上げる。
• その上げを、$\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$ の既約有限次元複素表現 $V_n$ と合成することで、$\rho_n: \pi_1(M) \to \mathrm{SL}(n,\mathbb{C})$ を得る。
• 関連する平坦ベクトル束 $E_{\rho_n}$ を構成し、Matsushima-Murakami の消滅定理を用いてそのコホモロジー $H^*(M; E_{\rho_n})$ を研究する。
• Raghunathan の消滅定理を用いて、包含写像 $\partial\overline{M} \hookrightarrow \overline{M}$ が $H^1(M; E_{\rho_n}) \hookrightarrow H^1(\partial\overline{M}; E_{\rho_n})$ を単射に誘導し、像が次元が半分であることを示す。
• トーラスおよび高 genus の曲面からなる境界成分のコホモロジーを解析し、$k \geq 1$ に対して $H^*(\partial\overline{M}; E_{\rho_{2k}}) = 0$ であることを示し、グローバルな消滅に至る。
• 一般線型代数 $\mathfrak{sl}(n,\mathbb{C})$ を既約成分に分解して、$\dim H^1(M; E_{\mathrm{Ad} \circ \rho_n})$ を計算し、無限小的剛性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全で、有限体積、双曲的3次元多様体 $M$ が1つの口をもつ場合、$k \geq 1$ に対してねじれたコホモロジー $H^*(M; E_{\rho_{2k}})$ は消えるか？
• RQ2 位相的に有限で非初等的な双曲的3次元多様体 $M$ が、さまざまな genus をもつ境界成分をもつ場合、$H^1(M; E_{\mathrm{Ad} \circ \rho_n})$ の次元は何か？
• RQ3 特徴関数 $\chi_{\rho_n}$ は、特徴関数多様体 $X(M, \mathrm{SL}(n,\mathbb{C}))$ の滑らかな点であり、接空間が $H^1(M; E_{\mathrm{Ad} \circ \rho_n})$ と同型か？
• RQ4 SL(n,C) 内の $\rho_n$ の非自明な無限小変形は、境界に制限したときにも非自明であり、$L^2$ 代表元を持たないか？
• RQ5 境界のコホモロジー $\partial\overline{M}$ と多様体 $M$ のコホモロジーの間には、$\rho_n$ によってねじられた場合、どのような関係があるか？

主な発見

• 完全で非初等的かつ位相的に有限な双曲的3次元多様体 $M$ に対して、包含写像 $\partial\overline{M} \hookrightarrow \overline{M}$ は $H^1(M; E_{\rho_n}) \hookrightarrow H^1(\partial\overline{M}; E_{\rho_n})$ を単射に誘導し、$\dim H^1(M; E_{\rho_n}) = \frac{1}{2} \dim H^1(\partial\overline{M}; E_{\rho_n})$ が成り立つ。
• 有限体積で1つの口をもつ $M$ に対して、すべての $k \geq 1$ に対して $H^*(M; E_{\rho_{2k}}) = 0$ である。これは $S^3$ 内の双曲的 knot 外部に適用可能である。
• アドジョイントバンドルを係数とする1次コホモロジーの次元は、$\dim H^1(M; E_{\mathrm{Ad} \circ \rho_n}) = k(n-1) + \sum_{i=1}^l (g_i - 1)(n^2 - 1)$ である。ここで $k$ はトーラス境界成分の数、$g_i \geq 2$ は高 genus 成分の genus である。
• 多様体 $M$ が閉じている場合、$H^1(M; E_{\mathrm{Ad} \circ \rho_n}) = 0$ である。これは Weil や Garland の剛性定理を高次元 $n$ へと一般化する。
• すべての非自明な $H^1(M; E_{\mathrm{Ad} \circ \rho_n})$ の元は、$H^1(\partial\overline{M}; E_{\mathrm{Ad} \circ \rho_n})$ においても非自明であり、$ dot^2$ 代表元を持たない。
• 特徴関数 $\chi_{\rho_n}$ は特徴関数多様体 $X(M, \mathrm{SL}(n,\mathbb{C}))$ の滑らかな点であり、接空間は $H^1(M; E_{\mathrm{Ad} \circ \rho_n})$ と同型である。これは $n=2$ の場合にKapovichの結果を拡張する。