[論文レビュー] A survey of semidefinite programming approaches to the generalized problem of moments and their error analysis

Etienne de Klerk, Monique Laurent|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2018

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 62被引用数 27

ひとこと要約

この論文は、一般化されたモーメント問題（GPM）に対する半定形計画法（SDP）のアプローチを調査し、階層的近似の収束速度に焦点を当てている。正のボレル測度の錐の内部および外部のコーン近似を分析し、単体および超立方体上では外部近似の誤差境界が O(1/r) で減少することを示している。一方、特定の条件下では内部近似は O(1/r²) の収束速度を達成し、直交多項式および数値積分則と関連している。

ABSTRACT

The generalized problem of moments is a conic linear optimization problem over the convex cone of positive Borel measures with given support. It has a large variety of applications, including global optimization of polynomials and rational functions, option pricing in finance, constructing quadrature schemes for numerical integration, and distributionally robust optimization. A usual solution approach, due to J.B. Lasserre, is to approximate the convex cone of positive Borel measures by finite dimensional outer and inner conic approximations. We will review some results on these approximations, with a special focus on the convergence rate of the hierarchies of upper and lower bounds for the general problem of moments that are obtained from these inner and outer approximations.

研究の動機と目的

• 一般化されたモーメント問題（GPM）に対する半定形計画法（SDP）のアプローチを包括的にサーベイすること。
• 正のボレル測度の錐の内部および外部のコーン近似に基づく階層的上界および下界の収束速度を分析すること。
• 球面、単体、超立方体などのさまざまな幾何的設定下での、内部および外部近似階層の定量的誤差境界を確立すること。
• 近似階層と直交多項式、数値積分則、分布的ロバスト最適化との関係を探索すること。
• 特に外部近似の収束速度分析の向上に向けた、未解決の問題および今後の研究方向性を特定すること。

提案手法

• コンパクト集合 K ⊆ ℝⁿ に台を持つ正のボレル測度の錐上での線形計画問題としてGPMを定式化する。
• ラッセールの階層的外部近似を適用し、平方多項式表現（SOS）を用いて半定形計画問題を通じて下界を生成する。
• モーメント行列および局所化行列に基づく内部近似を用い、SDP緩和を通じて上界を生成する。
• 無限次元空間における双対性理論を活用し、リエシ・マークフ・カクタニの表現定理および弱*位相を用いて、やや弱い条件下でも強い双対性を保証する。
• 多項式表現の次数 r における近似品質を分析することで誤差境界を導出する。球面上の調和解析および直交多項式の道具を用いる。
• 球面調和多項式およびデ・フィネッティ型の結果を用い、特に単位球面において内部近似と外部近似の差を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単体および超立方体上でのGPMに対する外部近似階層の収束速度は何か？
• RQ2 内部および外部近似の収束速度を比較すると、1/r² と 1/r の減衰行動においてどのような相違が生じるか？
• RQ3 SDP階層と球面上の数値積分則との間の関係を明確に定式化し、誤差解析に活用できるか？
• RQ4 内部近似階層の収束にあたって、基準測度の選択が果たす役割は何か？
• RQ5 実際の計算では観察される収束速度に比べ、外部近似が理論的に弱い収束速度を示すのはなぜか？このギャップをどのように埋められるか？

主な発見

• 単体 K = ∆ⁿ および次数 d の斉次多項式 p に対して、外部近似誤差は、すべての r ≥ d に対して minₓ∈∆ⁿ p(x) − val(r)ₗₑₙₜₕ ≤ Cd / r を満たす。ここで Cd > 0 は d のみに依存する定数である。
• 超立方体 K = [0,1]ⁿ では、外部近似誤差は、すべての r ≥ d に対して nd · ((d+1)/3) · Lₚ / r で有界である。Lₚ は p のリプシッツ定数である。
• 単位球面では、適切な条件下で内部近似階層が O(1/r²) の収束速度を達成する。誤差境界は球面調和展開およびデ・フィネッティ型定理を用いて導出される。
• 外部近似階層は一部の状況で有限収束を示し、グローバル最小値を抽出可能であるため、理論的収束速度が弱くても計算上はより実用的である。
• 内部近似の誤差境界は外部近似よりもきつい。前者は O(1/r²) で減少し、後者は O(1/r) で減少するため、内部階層の漸近的性能が優れていることが示唆される。
• 内部近似階層の分析は基準測度の選択に敏感である。O(1/r²) のレートをより広いクラスのコンパクト集合 K に一般化するためのさらなる研究が求められる。