[論文レビュー] Convergence analysis of a Lasserre hierarchy of upper bounds for polynomial minimization on the sphere

Etienne de Klerk, Monique Laurent|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2019

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 22被引用数 30

ひとこと要約

この論文は、単位球面上の多項式最小化に対するラッセルの階層的上界の収束速度を分析し、任意の多項式に対して誤差が Θ(1/r²) で減少することを示し、線形多項式に対してはこのレートがタイトであることを示している。この手法は、平方和密度と半正定値計画法を用い、固有値の再定式化により実装され、理論的分析では球面調和関数と立方則を用いて最適な収束速度を確立している。

ABSTRACT

We study the convergence rate of a hierarchy of upper bounds for polynomial minimization problems, proposed by Lasserre [SIAM J. Optim. 21(3) (2011), pp. 864-885], for the special case when the feasible set is the unit (hyper)sphere. The upper bound at level r of the hierarchy is defined as the minimal expected value of the polynomial over all probability distributions on the sphere, when the probability density function is a sum-of-squares polynomial of degree at most 2r with respect to the surface measure. We show that the exact rate of convergence is Theta(1/r^2), and explore the implications for the related rate of convergence for the generalized problem of moments on the sphere.

研究の動機と目的

• 単位球面上の多項式最小化に対するラッセルの階層的上界の収束速度を分析すること。
• 階層内の上界の正確な最悪ケース収束速度を確立すること。
• 非ゼロの線形多項式に対して O(1/r²) のレートがタイトであることを示すこと。
• 球面上の一般化されたモーメント問題（GPM）への影響を調査すること。

提案手法

• レベル r における上界は、次数が 2r 以下の平方和密度を持つ確率測度の下での多項式の最小期待値として定義される。
• 平方和が固有値の特徴付けを備えることを利用し、問題を半正定値計画問題に再定式化する。
• テイラー展開を用いて一般多項式の場合を線形の場合に還元する。
• 線形多項式の場合、球面調和関数と球面上の立方則との関係を用いて収束速度を分析する。
• タイト性の結果は、既知のガウス＝レジェンドル求積節点およびジャコビ行列の固有値の漸近挙動に依存する。
• 直交多項式の性質と球面上の面積測度の性質を用いて理論的バウンディングを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単位球面上の多項式最小化に対するラッセルの階層的上界の正確な収束速度は何か？
• RQ2 O(1/r²) の収束速度は、ある多項式クラスに対してタイトか？
• RQ3 上界の収束速度は、球面上の一般化されたモーメント問題とどのように関係するか？
• RQ4 特定の多項式クラスに対して、収束速度をより良く改善またはより正確に特徴付けられるか？
• RQ5 ラッセルの上界と球面上の立方則の関係は何か？

主な発見

• 球面上のラッセル階層の上界の収束速度は、任意の多項式 f に対して O(1/r²) である。
• このレートはタイトである：任意の非ゼロ線形多項式 f に対して、誤差は f^(r) - f_min = Ω(1/r²) を満たす。
• 球面上の一般化されたモーメント問題（GPM）の収束速度は O(1/r) であり、多項式最小化の O(1/r²) より弱い。
• 球面上の有理関数最小化問題に対しても、上界階層は O(1/r²) のレートで収束し、多項式の場合と一致する。
• 階層内の最適密度関数は、r が増加するにつれてグローバル最小化点に質量を集中させ、r が大きいほど最小化点と一致するモードをとる。
• 分析は、ラッセルの上界と球面立方則との関係に依存しており、ガウス＝レジェンドル節点の漸近的性質がタイト性の証明に用いられている。