[論文レビュー] A survey on the Weierstrass approximation theorem

Dilcia Pérez, Yamilet Quintana|ArXiv.org|Nov 2, 2006

Mathematical functions and polynomials参考文献 26被引用数 36

ひとこと要約

本調査は、ワイエルシュトラス近似定理の包括的概要を提供し、古典的結果を$Γ$-値関数および重み付きソボレフ空間へと拡張する。$L^p_{Γ}(I)$における$Γ$-値多項式の稠密性を確立し、重み付き$W^{1,∞}_{Γ}(I,w)$空間におけるこれらの多項式の閉包を検討し、近似理論における新たな一般化と未解決問題を提示する。

ABSTRACT

The celebrated and famous Weierstrass approximation theorem characterizes the set of continuous functions on a compact interval via uniform approximation by algebraic polynomials. This theorem is the first significant result in Approximation Theory of one real variable and plays a key role in the development of General Approximation Theory. Our aim is to investigate some new results relative to such theorem, to present a history of the subject, and to introduce some open problems.

研究の動機と目的

• 近似理論におけるワイエルシュトラス近似定理の歴史的概要と現代的発展を提示すること。
• 古典的定理を実分離ヒルベルト空間（$\mathcal{G}$-値関数）への関数値に一般化すること。
• $\mathcal{G}$-値多項式が$L^p_{\mathcal{G}}(I)$および重み付きソボレフ空間$W^{1,\infty}_{\mathcal{G}}(I,w)$において稠密であるかを調査すること。
• 重み付き$W^{1,\infty}$ノルム下での$\mathbb{P}(\mathcal{G})$の閉包に関する未解決問題を特定し、提示すること。

提案手法

• コンパクト区間$I$上の$\mathcal{G}$-値連続関数への古典的ワイエルシュトラス定理の拡張（$\mathcal{G}$は実分離ヒルベルト空間）。
• $\mathcal{G}$-値多項式を、$\xi_n \in \mathcal{G}$かつ有限台を持つ関数$\phi(t) = \sum_{n \in \mathbb{N}} \xi_n t^n$として定義する。
• 弱可測かつ$p$-可積分な$\mathcal{G}$-値関数の空間$L^p_{\mathcal{G}}(I)$を、ノルム$\|f\|_{L^p_{\mathcal{G}}(I)} = \left(\int_I \|f(t)\|_{\mathcal{G}}^p dt\right)^{1/p}$で定義する。
• $\mathcal{G}$-値関数$f$の微分を、$\mathcal{G}$の正規直交基底を用いた成分ごとの弱微分により定義し、ノルム$\|f\|_{W^{1,\infty}_{\mathcal{G}}(I)} = \|f\|_{L^\infty_{\mathcal{G}}(I)} + \|f'\|_{L^\infty_{\mathcal{G}}(I)}$を備えたソボレフ空間$W^{1,\infty}_{\mathcal{G}}(I)$を構成する。
• $\mathcal{G}$-値関数に対する重み付きノルム$\|f\|_{L^\infty_{\mathcal{G}}(I,w)}$および$\|f\|_{W^{1,\infty}_{\mathcal{G}}(I,w)} = \|f\|_{L^\infty_{\mathcal{G}}(I,w)} + \|f'\|_{L^\infty_{\mathcal{G}}(I,w)}$を導入する。
• $\mathcal{G}$における正規直交基底の性質および$\mathcal{G}$が可換バナッハ代数としての構造を用いて、$\mathcal{G}$-値設定における近似を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathbb{P}(\mathcal{G})$の重み付き$W^{1,\infty}_{\mathcal{G}}(I,w)$空間における閉包は何か？
• RQ2 $\overline{\mathbb{P}(\mathcal{G})}^{W^{1,\infty}_{\mathcal{G}}(I,w)}$の特徴付けを可能にする、重み$w$の最も一般的な条件は何か？
• RQ3 ワイエルシュトラス近似定理を、$1 \leq p < \infty$の$\mathcal{G}$-値関数$f \in L^p_{\mathcal{G}}(I)$に対してどのように拡張できるか？
• RQ4 古典的ワイエルシュトラス定理を、無限次元ヒルベルト空間値関数に対してソボレフ型ノルムに関して一般化できるか？
• RQ5 $\mathcal{G}$が可換バナッハ代数としての構造を有することが、このような一般化を可能にする役割は何か？

主な発見

• $\mathcal{G}$-値多項式の空間$\mathbb{P}(\mathcal{G})$は、すべての$1 \leq p < \infty$に対して$L^p_{\mathcal{G}}(I)$において稠密であり、古典的ワイエルシュトラス定理がベクトル値関数へと拡張されることを示す。
• $\mathbb{P}(\mathcal{G})$は、本質的essentially上界ノルム下で$L^\infty_{\mathcal{G}}(I)$において稠密である。
• $\mathcal{G}$-値関数$f$の微分は、$\mathcal{G}$の正規直交基底を用いた成分ごとの定義により定義され、これにより$W^{1,\infty}_{\mathcal{G}}(I)$の構成が可能になる。
• ノルム$\|f\|_{W^{1,\infty}_{\mathcal{G}}(I)} = \|f\|_{L^\infty_{\mathcal{G}}(I)} + \|f'\|_{L^\infty_{\mathcal{G}}(I)}$を備えた$W^{1,\infty}_{\mathcal{G}}(I)$は適切に定義されており、$\mathbb{P}(\mathcal{G})$はこの空間において稠密である。
• 本稿は、重み付き$W^{1,\infty}_{\mathcal{G}}(I,w)$空間における$\mathbb{P}(\mathcal{G})$の閉包に関する未解決問題を提示し、重み$w$に関する一般条件の必要性を強調している。
• 本稿は、$\mathcal{G}$-値関数が$L^\infty_{\mathcal{G}}(I)$に属する場合、$\mathcal{G}$-値多項式により$L^\infty_{\mathcal{G}}(I)$ノルムで近似可能であることを確立しており、古典的一様近似結果の一般化を示している。