[論文レビュー] A systematic approach to the solution of the constraints of quantum gravity: The full theory

Eyo Eyo Ita|ArXiv.org|Oct 11, 2007

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 20被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、純粋な Kodama 状態の周りで展開することにより、Ashtekar 変数における重力の量子的制約を体系的に解くためのアルゴリズムを提示する。一般化Kodama状態（GKod）を、次元のない結合定数 $ G\Lambda $ のべき級数としての漸近的級数として構築する。この方法は、CDJ行列のずれを変数として用い、制約を非線形な流れとして再定式化し、自然に半古典的極限を内蔵する宇宙の波動関数を導出する。この波動関数は、物質の結合に関する関数的統合と摂動的展開によって検証されている。

ABSTRACT

This is the third paper in a series outlining an algorithm to construct finite states of quantum gravity in Ashtekar variables. In this paper we treat the case of the Klein--Gordon field quantized with gravity on the same footing. We address the full theory, outlining the solution to the constraints and the construction of the corresponding wavefunction of the universe. The basic method for the full theory is to expand the constraints relative to the solution for the pure Kodama state and rewrite them in the form of a generalized nonlinear group transformation of the CDJ matrix, viewed as a nine-dimensional vector. We then outline a prescription for finding the fixed point of the flow, and the corresponding generalized Kodama state for the full theory is constructed. The final solution is expressed in an asymptotic series in powers of model-specific matter inputs, suppressed by a small dimensionless constant, relative to the pure Kodama state. We discuss this expansion from different perspectives. Lastly, we explicitly show how the solution to the quantized constraints establishes a wavefunction of the universe with a predetermined semiclassical limit built in as a boundary condition on quantized gravity in the full theory.

研究の動機と目的

• 完全な正準量子重力のAshtekar変数における量子的制約を、体系的かつアルゴリズム的アプローチで解くこと。
• 物質場を重力と同等に扱うことができる、純粋Kodama状態の周りの摂動的展開として一般化Kodama状態（GKod）を構築すること。
• 純粋Kodama状態をバックグラウンドとして用いることで、得られる宇宙の波動関数が設計上、所望の半古典的極限を持つように保証すること。
• コスモロジカル定数を伴う量子重力において、Kodama状態が実用的な真空状態であるという仮説を検証するための枠組みを提供すること。
• モデルに特有の $ G\Lambda $ 展開を用いて、半古典的極限に対する高次の補正を体系的に計算可能にする仕組みを提供すること。

提案手法

• 純粋Kodama状態解の周りで量子的制約を展開し、CDJ行列のずれ $ \epsilon_{ae} $ を変数として用い、9次元ベクトルとして扱う。
• 制約をCDJ行列のずれに作用する一般化された非線形群変換として再定式化し、流れに基づく解析を可能にする。
• 制約を、$ G\Lambda $ が小さいことにより抑制される非線形補正項を含む、$ \epsilon_{ae} $ に作用する線形作用素として表現する。
• 空間的および場の配置空間における関数的積分微分作用素からなる9×9の作用素として、線形部を行列形式で表現する。
• 一般化Kodama状態 $ \Psi_{GKod} $ を、$ (G\Lambda)^n $ のべき級数としての漸近的級数として構築し、係数には高次の物質源項 $ Q'_{ab} $ を含める。
• 各空間点で物質場空間 $ \Gamma $ における関数的統合を実行し、その後空間的統合を施すことにより、関数 $ f[\phi] $ を介して物質場に非分離的依存性を持つ完全な波動関数を生成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全な正準量子重力の量子的制約は、純粋Kodama状態の周りでの展開を用いて体系的に解くことができるか？
• RQ2 物質場を含みながらも、明確な半古典的極限を保つ一般化Kodama状態は、どのように構築できるか？
• RQ3 結合定数 $ G\Lambda $ は、宇宙の波動関数の摂動的展開を整理する役割を果たすか？
• RQ4 物質場の寄与によって生じる重力系への補正は、波動関数にどのように現れ、体系的に計算可能か？
• RQ5 物質が存在する状況下でも、一般化Kodama状態は、自然に半古典的極限を内蔵する物理的真空状態として解釈可能か？

主な発見

• 一般化Kodama状態 $ \Psi_{GKod} $ は、$ G\Lambda $ のべき級数としての漸近的級数として構築され、各次数が物質源項 $ Q'_{ab} $ に作用する関数的作用素によって補正される。
• 宇宙の波動関数は、$ \Psi_{GKod_f}[A,\phi] = \Psi_{Kod}[A] \times \exp\left[ i \int d^3x \int_\Sigma f[\phi] \delta\phi \right] \times \exp\left[ (12G\Lambda)^{-1} \int d^3x \int_\Gamma \delta X^{ab} \sum_{n=1}^\infty (G\Lambda)^n \hat{U}^{a_1b_1...a_nb_n} \prod_{k=1}^n Q'_{a_kb_k} \right] $ と表現され、物質と重力のエンタングルメントが明示的に示されている。
• 物質の運動量は、重力系と同型に波動関数に寄与し、$ \phi $ に関する微分と積分が互いに相殺することで、最終的には源項からの寄与が残る。
• 関数的統合は各空間点 $ x $ で実行され、関数 $ f[\phi] $ を介して物質場に非分離的依存性が生じる。この関数は、半古典的極限を強制するために調整可能である。
• 摂動的構造は、フェ Feynman 図に類似したネットワーク的アナロジーに似ており、物質源が頂点を介して伝播・自己相互作用する。総源項は $ 3^n $ の割合で増加するが、次元のない結合定数 $ G\Lambda $ の存在により級数は収束する可能性がある。
• この方法により、半古典的極限に対する高次の補正を体系的かつモデル特有の方法で計算可能となり、$ \Lambda $ を伴う量子重力におけるKodama状態が真空状態であるという仮説の検証が可能になる。