[論文レビュー] A tensor version of the quantum Wielandt theorem

Mateusz Michałek, Tim Seynnaeve+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2018

Advanced Operator Algebra Research参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、投影エンタングルペア状態（PEPS）におけるテンソル版の量子Wielandt定理を確立し、2次元以上におけるテンソルネットワークのインジェクティビティが有限のブロッキングによって明確に定義可能であることを証明する。代数幾何学からの非構成的ノイザー的議論を用いて、インジェクティビティを保証する有限なグリッドサイズの存在を示し、量子多体物理学およびテンソルネットワーク分野における長年の未解決問題を解決する。

ABSTRACT

We prove boundedness results for the injectivity regions for PEPS. Our result is a higher-dimensional generalization of the quantum Wielandt inequality.

研究の動機と目的

• 2次元以上の次元における投影エンタングルペア状態（PEPS）に対して、量子Wielandt型定理が存在するかという長年の未解決問題を解消すること。
• PEPSにおけるインジェクティビティがwell-definedであることを確立すること、すなわち、ある有限のブロッキングサイズを過ぎると、仮想的・物理的インデックスへの写像がインジェクティブになることが保証されること。
• 1次元の行列積状態（MPS）にのみ知られていた量子Wielandt不等式を、高次元テンソルネットワークへ一般化すること。
• 代数幾何学の道具、特にヒルベルトの基底定理とザリスキ閉集合を用いて、非構成的証明により、有界なインジェクティビティ領域の存在を示すこと。
• すべてのインジェクティブPEPSに対して、局所的サポートを持つ有限の親ハミルトニアンの存在が数学的に正当化されることを示すこと。

提案手法

• n次元格子上でのPEPSのモデル化を目的としたグリッドベースのフレームワークを用いる。
• インジェクティブ領域を、仮想的インデックスから物理的インデックスへのテンソル畳み込み写像がインジェクティブであるグリッドとして定義する。
• ヒルベルトの基底定理を適用し、非インジェクティブな構成の集合がパラメータ空間におけるザリスキ閉部分集合であることを示す。
• インジェクティブのランク条件が特定の小行列式の消滅と同値であることに着目し、非インジェクティブなテンソルの集合が代数的であることを示す。
• グリッドサイズを増加させる系列に対して降鎖の議論を適用し、ノイザー性により非インジェクティブ集合の系列が安定することを示す。
• 結果を、任意のインジェクティブPEPSが、有限個の固定されたグリッド形状のうちの少なくとも1つでインジェクティブになるような有限個のグリッドの集合の存在として再定式化する。この結果は物理的次元dに依存せず、nとDにのみ依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元以上の次元における投影エンタングルペア状態（PEPS）に対して、量子Wielandt型定理が存在するか？
• RQ2 インジェクティブPEPSにおけるインジェクティブ性の概念は、ある有限のブロッキングサイズを過ぎるとインジェクティブ性が保証されるという意味でwell-definedであるか？
• RQ3 代数幾何学を用いて、すべてのインジェクティブPEPSに対して有限サポートの親ハミルトニアンの存在を確立できるか？
• RQ4 パラメータ空間における非インジェクティブPEPS構成の集合の構造はいかなるものか？
• RQ5 提案されたフレームワークを用いて、PEPSのインジェクティブ性をアルゴリズム的に決定できるか？

主な発見

• 本論文は、結合次元Dおよび物理的次元dを持つn次元PEPSに対して、ある有限のグリッドサイズが存在し、そのテンソルネットワークが有限個の固定されたグリッド形状のうちの1つでインジェクティブになる場合に限り、インジェクティブ性が達成されることを証明した。
• 非インジェクティブ構成の代数的多様体にヒルベルトの基底定理を適用することで、このような有限ブロッキングサイズの存在がノイザー性により保証される。
• グリッドサイズの上限は非構成的である。つまり、正確なサイズは計算されないが、代数幾何学を用いてその存在が証明される。
• この結果により、1次元の行列積状態（MPS）における量子Wielandト定理が、2次元以上を含む高次元テンソルネットワーク（PEPS）へ一般化され、インジェクティブ性の結果が2次元以降へ拡張された。
• 証明により、PEPSのインジェクティブ性はアルゴリズム的に決定可能であることが示され、非インジェクティブテンソルの集合がザリスキ閉集合であり、多項式イデアルの属する性質により決定可能である。
• この結果は、物理的次元dに一様に成り立ち、有限個のグリッドの集合はnとDにのみ依存し、dには依存しない。