[論文レビュー] A theorem of Heine-Stieltjes, the Wronski map, and Bethe vectors in the sl_p Gaudin model

Inna Scherbak|ArXiv.org|Nov 24, 2002

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 12被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、2階微分方程式の多項式解に関する古典的Heine-Stieltjes定理を、$p > 2$ に対する $p$-階Fuchs型方程式へ一般化し、マスターファンクション（Wronski写像）の臨界点と、複素多項式の $p$-次元部分空間のグレアマンニアンにおけるシューベルト多様体の間の対応を確立する。主な結果は、$
\mathrm{sl}_p$ Gaudin模型におけるBetheベクトルが、与えられた重量の特異ベクトル部分空間の基底をなすことであり、交差理論とシューベルト計算を用いて証明される。

ABSTRACT

Heine and Stieltjes in their studies of linear second-order differential equations with polynomial coefficients having a polynomial solution of a preassigned degree, discovered that the roots of such a solution are the coordinates of a critical point of a certain remarkable symmetric function, [He], [St]. Their result can be reformulated in terms of the Schubert calculus as follows: the critical points label the elements of the intersection of certain Schubert varieties in the Grassmannian of two-dimensional subspaces of the space of complex polynomials, [S1]. In a hundred years after the works of Heine and Stieltjes, it was established that the same critical points determine the Bethe vectors in the sl_2 Gaudin model, [G]. Recently it was proved that the Bethe vectors of the sl_2 Gaudin model form a basis of the subspace of singular vectors of a given weight in the tensor product of irreducible sl_2-representations, [SV]. In the present work we generalize the result of Heine and Stieltjes to linear differential equations of order p>2. The function, which determines elements in the intersection of corresponding Schubert varieties in the Grassmannian of p-dimensional subspaces, turns out to be the very function which appears in the sl_p Gaudin model. In the case when the space of states of the Gaudin model is the tensor product of symmetric powers of the standard sl_p-representation, we prove that the Bethe vectors form a basis of the subspace of singular vectors of a given weight.

研究の動機と目的

• 2階微分方程式の多項式解に関する古典的Heine-Stieltjes定理を、$p > 2$ に対する $p$-階Fuchs型方程式へ拡張すること。
• マスターファンクション（Wronski写像）の臨界点と、複素多項式の $p$-次元部分空間のグレアマンニアンにおけるシューベルト多様体の間の対応を確立すること。
• $\mathrm{sl}_p$ Gaudin模型におけるBetheベクトルが、標準 $\mathrm{sl}_p$表現の対称冪のテンソル積における、与えられた重量の特異ベクトル部分空間の基底をなすことを証明すること。
• グレアマンニアンにおける交差理論を応用して解の数を数え、シューベルト計算を用いて特異ベクトル空間の次元を検証すること。

提案手法

• $p$-階Fuchs型微分方程式の多項式解を、$d$ 次多項式の $p$-次元部分空間のグレアマンニアン $G_p(\mathrm{Poly}_d)$ の問題として定式化する。
• $\tilde{z} \in \mathbb{C} \cup \{\infty\}$ におけるフラッグを用いて、$\mathbf{w} = (w_1, \dots, w_p)$ でインデックス付けされたシューベルト多様体 $\Omega_{\mathbf{w}}(\tilde{z})$ を定義する。ここで、codimension は $|\mathbf{w}| = \sum w_i$ である。
• 解空間 $V$ のWロンスキー $W_V(x)$ を用いて、微分方程式の特異点と $W_V(x)$ の根との関係を確立する。ここで、重複度はシューベルト多様体のcodimensionに対応する。
• Gaudin模型 $\mathrm{sl}_p$ に関連するマスターファンクション $\Phi^{0}(\mathbf{t})$ を導入し、その臨界点が一般化されたHeine-Stieltjes問題の解に対応することを示す。
• シューベルト計算を用いて、$0$, $1$, $\infty$ におけるシューベルト多様体の交差 $\mathcal{I}_{\{(m_1,m_2),\mathbf{d}\}}(0,1)$ を計算し、特定の重量条件のもとでのみ非空であることを示す。
• ReshetikhinとVarchenkoによる $\mathrm{sl}_2$ Gaudin模型の結果を用いて、非ゼロ臨界値を持つ臨界軌道の数を評価し、特異ベクトル空間の次元と等しいことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2階微分方程式に関するHeine-Stieltjes定理を、$p > 2$ に対する $p$-階Fuchs型方程式の多項式解へどのように一般化できるか？
• RQ2 $p$-階Fuchs型方程式の解空間の幾何学的・代数的構造は、指定された特異点と多項式解をもつ場合にどのように特徴づけられるか？
• RQ3 $\mathrm{sl}_p$ Gaudin模型におけるマスターファンクションの臨界点は、多項式の $p$-次元部分空間のグレアマンニアンにおけるシューベルト多様体とどのように関係するか？
• RQ4 $p$-階方程式に対応するシューベルト多様体の交差が一意な解を与える条件は何か？ また、Gaudin模型とどのように関連するか？
• RQ5 $\mathrm{sl}_p$ Gaudin模型におけるBetheベクトルが、与えられた重量の特異ベクトル部分空間の基底をなすことを示せるか？

主な発見

• $p$-階Fuchs型方程式に対して一般化されたHeine-Stieltjes定理が成り立つ：多項式解が存在するための必要十分条件は、Wronski行列式の根がマスターファンクション $\Phi^0(\mathbf{t})$ の臨界点に対応することである。
• $\mathrm{sl}_p$ Gaudin模型で2つのサイト $z = (0,1)$ を持つ場合、$\Phi^0(\mathbf{t})$ の非ゼロ臨界値を持つ臨界軌道の数は、最高重量 $\Lambda_0 = (m_1 + m_2)E - k_1\alpha_1 - \cdots - k_{p-1}\alpha_{p-1}$ が $\mathrm{Sym}^{m_1}\mathcal{L} \otimes \mathrm{Sym}^{m_2}\mathcal{L}$ に現れる場合に限り $1$ であり、それ以外の場合は $0$ である。
• $\mathrm{Sym}^{m_1}\mathcal{L} \otimes \mathrm{Sym}^{m_2}\mathcal{L}$ 内の重量 $\Lambda_0$ の特異ベクトル部分空間の次元は、指定された次数 $d_1, \dots, d_p$ をもつ一般化されたHeine-Stieltjes問題の解の数に等しい。
• 一般に $z = (z_1, \dots, z_n)$ をとると、(25)–(26) の形の $p$-階微分方程式で、次数 $d_1 < \cdots < d_p$ の多項式解をもつものの数は、$\dim \mathrm{Sing}_{\mathbf{k}} \mathcal{L}^{\otimes m}$ に等しい。ここで $\mathbf{k}$ は $k_i = d_1 + \cdots + d_{p-i} + (n-1)\frac{(p-i)(p-i-1)}{2}$ により定義される。
• $\Phi^0(\mathbf{t})$ の非退化臨界軌道ごとに、対応する非ゼロBetheベクトルが一意に定まり、それらすべてが与えられた重量の特異ベクトル空間の基底をなす。
• 交差 $\mathcal{I}_{\{(m_1,m_2),\mathbf{d}\}}(0,1)$ が非空である場合、$p$-階方程式の解空間は非退化な $p$-次元平面であることが保証され、解の幾何学的実在性が裏付けられる。