[論文レビュー] Affine Algebras, Langlands Duality and Bethe Ansatz

Edward Frenkel|ArXiv.org|Jun 5, 1995

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 8被引用数 89

ひとこと要約

この論文は、臨界レベルにおけるアフィンカク・ムーディ代数、幾何学的ラングランズ双対性、および可積分系におけるベーテの方法の間の深い関係を確立する。${\mathfrak{g}}^L$-オペルが曲線上に存在するとき、それらは$G^L$-局所系に対応し、ベイリソン＝ドリーフィンの局所化関手を通じて、$G$-バンドルのモジュライ空間上の${\mathcal{D}}$-加群を生じさせ、幾何学的ラングランズ対応を実現する。主な結果は、$SL_2$のガウディン模型におけるベーテの方法の完全性が、関連する射影的接続の単調性と同値であるということである。

ABSTRACT

We review various aspects of representation theory of affine algebras at the critical level, geometric Langlands correspondence, and Bethe ansatz in the Gaudin models. Geometric Langlands correspondence relates D-modules on the moduli space of G-bundles on a complex curve X and flat G^L-bundles on X. Beilinson and Drinfeld construct it by applying a localization functor to representations of affine algebras of critical level. We show that in genus zero the corresponding D-modules are closely related to the diagonalization problem in the Gaudin model associated to G. This allows us to give a new interpretation of the Bethe ansatz and Sklyanin's separation of variables in the Gaudin model in terms of Langlands correspondence.

研究の動機と目的

• 再帰的群のための幾何学的ラングランズ対応を、臨界レベルにおけるアフィンカク・ムーディ代数の表現論を用いて幾何的に実現すること。
• ${\mathfrak{g}}^L$-オペルが、臨界レベルにおける$\widehat{{\mathfrak{g}}}$-加群の局所ラングランズパラメータとして果たす役割を明確にすること。
• $SL_2$のガウディン模型におけるベーテの方法の完全性を、関連する射影的接続の単調性と関連付けることで証明すること。
• 局所化と$q$-変形を介して、量子可積分系（ガウディン模型）と幾何学的ラングランズを結びつけること。

提案手法

• ベイリソン＝ドリーフィンの局所化関手を用いて、$\mathcal{M}_G(X)$上の${\mathcal{D}}$-加群を、カテゴリ$\mathcal{O}^0$に属する$\widehat{{\mathfrak{g}}}$-加群に割り当てる。
• 臨界レベルの性質を適用し、$U_{-h^\vee}(\widehat{{\mathfrak{g}}})$の中心が古典的$\mathcal{W}$-代数$\mathcal{W}({\mathfrak{g}}^L)$と同型であることを示す。
• $\mathcal{W}({\mathfrak{g}}^L)$-汎関数を${\mathfrak{g}}^L$-オペルと同一視し、それらが$\widehat{{\mathfrak{g}}}$-加群のキャラクター因数分解を通じてパラメトライズされることを特定する。
• ${\mathfrak{g}}^L$-オペルから${\mathcal{D}}$-加群を構成し、単調性を通じて$G^L$-局所系に対応させることを示す。
• 滑らかさが0のとき、得られた${\mathcal{D}}$-加群をガウディン模型の可換ハミルトニアンおよびその固有値方程式に関連付ける。
• $q$-変形されたミウラ変換と$q$-差分方程式を用いて、変数分離とスペクトル理論を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アフィンカク・ムーディ代数の臨界レベル構造は、幾何学的ラングランズ対応とどのように関係しているか？
• RQ2 ${\mathfrak{g}}^L$-オペルが、臨界レベルにおける$\widehat{{\mathfrak{g}}}$-加群をパラメトライズする役割を果たす正確な方法は何か？
• RQ3 ガウディン模型におけるベーテの方法の完全性は、関連する射影的接続の単調性を用いて幾何的に特徴付けられるか？
• RQ4 $q$-変形されたミウラ変換と$q$-差分方程式は、可積分系における変数分離をどのように一般化するか？
• RQ5 臨界レベルにおける量子アフィン代数の中心と、ラングランズ双対の古典的$\mathcal{W}$-代数との関係は何か？

主な発見

• $U_{-h^\vee}(\widehat{{\mathfrak{g}}})$の中心は、古典的$\mathcal{W}$-代数$\mathcal{W}({\mathfrak{g}}^L)$と同型であり、$\widehat{{\mathfrak{g}}}$-加群と${\mathfrak{g}}^L$-オペルの間に双対性を確立する。
• 曲線$X$上の正則${\mathfrak{g}}^L$-オペルは、$G^L$-局所系と、$\mathcal{M}_G(X)$上の${\mathcal{D}}$-加群を定義し、幾何学的ラングランズ対応を実現する。
• $G=SL_2$の場合、ベーテの方法の式は、関連する射影的接続の単調性である条件と同値であり、ベーテの方法の完全性が証明される。
• ガウディンのハミルトニアンは、可換な微分作用素として現れ、それらの固有値問題は${\mathfrak{g}}^L$-オペルに対応する${\mathcal{D}}$-加群に対応する。
• $q$-変形されたミウラ変換は、量子アフィン代数の中心を$q$-差分作用素に写像し、古典的スペクトル理論を一般化する。
• $U_q(\widehat{{\mathfrak{g}}})$の$R$-行列は、臨界レベルで量子トーダ系のそれと一致し、量子群と可積分系を結ぶ。