[論文レビュー] A Theory of Elementary Higher Toposes

Nima Rasekh|arXiv (Cornell University)|May 10, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 14被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、初等トポスとグロテンディーク ∞-トポスを統一する新しい「初等高次トポス」の概念を導入し、降下性、局所的カルテジアン閉包、ユニバーサルな射の分類といった基礎的性質を確立する。主な貢献は、ホモトピー論的数学へのトポス理論の一般化であり、インダクティブ完備化による代替的特徴付けと、フィルター商を用いた非グロテンディーク例の構成が行われる。

ABSTRACT

We define an elementary $\infty$-topos that simultaneously generalizes an elementary topos and Grothendieck $\infty$-topos. We then prove it satisfies the expected topos theoretic properties, such as descent, local Cartesian closure, locality and classification of univalent morphisms, generalizing results by Lurie and Gepner-Kock. We also define $\infty$-logical functors and show the resulting $\infty$-category is closed under limits and filtered colimits, generalizing the analogous result for elementary toposes and Grothendieck $\infty$-toposes. Moreover, we give an alternative characterization of elementary $\infty$-toposes and their $\infty$-logical functors via their ind-completions. Finally we generalize these results by discussing the case of elementary (n,1)-toposes and give various examples and non-examples.

研究の動機と目的

• 高圏への初等トポスの一般化を通じて、集合論や型理論に類似したホモトピー的不変な数学の基礎を構築すること。
• 初等トポスとグロテンディーク ∞-トポスの両方を同時に一般化する初等 ∞-トポスを定義すること。
• そのような ∞-トポスが降下性、局所的カルテジアン閉包、ユニバーサルな射の分類といった核心的トポス理論的性質を満たすことを証明すること。
• ∞-論理関手を通じて、初等 ∞-トポスの ∞-圏が極限およびフィルタード列挙に閉じていることを示すこと。
• フレームワークを初等 (n,1)-トポスへと拡張し、明示的な例と反例（非グロテンディーク構成を含む）を提供すること。

提案手法

• 初等 ∞-トポスを、有限完備な ∞-圏で、部分対象分類子と、引き戻しに関する普遍的閉包性、完全セガール宇宙を持つものとして定義する。
• 表現可能ないわゆるカルテジアンファイブレーションとインダクティブ完備化の理論を用いて、初等 ∞-トポスおよびその ∞-論理関手の代替的特徴付けを提供する。
• 積に関して閉じたフィルターを持つ有限完備 (n,1)-圏のフィルター商を構成し、初等 (n,1)-トポスの新しい例を得る。
• 得られた ∞-圏が、有限極限および余極限、部分対象分類子、局所的カルテジアン閉包、および (n−2)-切断された宇宙を商関手のもとで保存することを証明する。
• 既知の圏（有限集合、π-有限空間、ケイ・オブジェクトなど）にこの枠組みを適用し、それらが初等 ∞-トポスをなすかどうかを分析する。
• ホモトピー的整合構造をモデル化し、∞-圏的基礎と整合性を保つために、完全セガール空間およびクーラー・カテゴリの理論を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初等トポスとグロテンディーク ∞-トポスの両方を一般化する統一的な初等 ∞-トポスの概念を定義可能か？
• RQ2 初等 ∞-トポスは、降下性、局所的カルテジアン閉包、ユニバーサルな射の分類といった核心的トポス理論的性質を満たすか？
• RQ3 初等 ∞-トポスの ∞-圏は、∞-論理関手を通じて極限およびフィルタード列挙に閉じているか？
• RQ4 有限完備な (n,1)-圏のフィルター商は、非グロテンディークの初等 (n,1)-トポスを生成できるか？
• RQ5 π-有限空間やケイ・オブジェクトといった特定の圏は、なぜ初等 ∞-トポスでないのか？

主な発見

• 初等 ∞-トポスは降下性、局所的カルテジアン閉包、ユニバーサルな射の分類を満たし、ルリーとゲプナー＝コックの結果を一般化する。
• 初等 ∞-トポスの ∞-圏は、∞-論理関手がこれらの構造を保存する限り、極限およびフィルタード列挙に閉じている。
• 初等 ∞-トポスのインダクティブ完備化による代替的特徴付けが与えられ、古典的トポス理論の双対性を一般化する。
• 積に関して閉じたフィルターを持つ有限完備 (n,1)-圏のフィルター商は、非グロテンディークの新しい初等 (n+1,1)-トポスを生成する。例えば、フィルター積 ∏Φ𝔖≤n はその例である。
• π-有限空間の ∞-圏は、有限極限および余極限の閉包性に欠けるため、初等 ∞-トポスでない。
• 可算余極限と有限極限を持つ圏からのケイ・オブジェクトは、部分対象分類子を必ずしも持たないため、初等 ∞-トポスでない。