[論文レビュー] A theory of the invariants obtained from the moduli stacks of stable objects on a smooth polarized surface

Takuro Mochizuki|ArXiv.org|Oct 15, 2002

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 36被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、滑らかな極化された表面上の半安定な層のモジュライスタックに対する仮想基本類理論を構築し、安定性パラメータ δ の変化における不変量の遷移公式を確立する。$p_g > 0$ の場合、不変量が極化の選び方に依存しないことを証明し、$p_g = 0$ の場合に弱い壁越え公式と交差丸め公式を導出し、不変量をヒルベルト汎在とアーベル対からの不変量に還元する。

ABSTRACT

Let $X$ be a smooth polarized algebraic surface over the compex number field. We discuss the invariants obtained from the moduli stacks of semistable sheaves of arbitrary ranks on $X$. For that purpose, we construct the virtual fundamental classes of some moduli stacks, and we show the transition formula of the integrals over the moduli stacks of the $δ$-stable Bradlow pairs for the variation of the parameter $δ$. Then, we study the relation among the invariants. In the case $p_g>0$, we show that the invariants are independent of the choice of a polarization of $X$. We also show that the invariants can be reduced to the invariants obtained from the moduli of abelian pairs and the Hilbert schemes. In the case $p_g=0$, we obtain the weak wall crossing formula and the weak intersection rounding formula, which describes the dependence of the invariants on the polarization.

研究の動機と目的

• 滑らかな極化された表面上の任意のランクの半安定層のモジュライスタックに対して仮想基本類を構成すること。
• 安定性パrameter δ の変化に伴う δ-安定ブラドロペアの積分に対する遷移公式を確立すること。
• 極化の選び方に対する不変量の依存性を分析すること、特に $p_g = 0$ と $p_g > 0$ の場合を区別すること。
• $p_g > 0$ の場合に一般不変量をヒルベルト汎在とアーベル対からの不変量に還元すること。
• $p_g = 0$ の場合に弱い壁越え公式と弱い交差丸め公式を導出し、極化の変化に伴う不変量の変化を記述すること。

提案手法

• 半安定層のモジュライスタックおよび拡張されたマスタースペースにおける障害理論を用いて仮想基本類を構成する。
• 幾何的不変量理論（GIT）とトーラス作用を用いて固定点集合を分析し、モジュライスタックを積に分解する。
• 等変障害理論と摂動技法（ブラドロ摂動および放物型摂動）を用いて、異なる安定性条件を関連付ける。
• マスタースペース構成を用いて安定性パrameter δ の変化を均一化し、壁越え行動を研究する。
• アーモン・コーン内のタイルとチャネルを介して、コhomology 上の誘導写像と DT 不変量を用いて、異なる安定性パラメータ間の不変量を比較する。
• 方向付き還元済みと非方向付き還元済みのケースの間の比較定理を用いて、異なる障害理論を関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モジュライスタックの半安定層の不変量は、安定性パrameter δ の変化にどのように応じるか？
• RQ2 $p_g = 0$ の場合、これらの不変量は極化の選び方に依存するか？
• RQ3 $p_g > 0$ の場合、不変量は極化の選び方に依存しないか？
• RQ4 $p_g > 0$ の場合、不変量はヒルベルト汎在とアーベル対からの不変量に還元可能か？
• RQ5 $p_g = 0$ の場合に、壁越え行動と交差丸めを記述する公式は何か？

主な発見

• $p_g > 0$ の場合、半安定層のモジュライスタックから得られる不変量は極化の選び方に依存しない。
• $p_g > 0$ の場合、モジュライ空間の分解を用いて不変量をヒルベルト汎在とアーベル対からの不変量に還元できる。
• $p_g = 0$ の場合、弱い壁越え公式が確立され、アーモン・コーン内の壁を越える際の不変量の変化が記述される。
• $p_g = 0$ の場合、弱い交差丸め公式が導出され、ある種の不変量がアーモン・コーン内のチャネルの選び方に依存しないことが示される。
• δ-安定ブラドロペアの遷移公式は、タイルとチャネルからの寄与に分解し、交差数の符号条件を用いて証明される。
• 完全障害理論を用いて仮想基本類が構成され、方向付きと非方向付きのケース間の比較定理により、摂動に対する不変性が示される。