[論文レビュー] Stable pairs on curves and surfaces

Daniel Huybrechts, Manfred Lehn|ArXiv.org|Nov 9, 1992

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用数 100

ひとこと要約

本稿では、幾何的不変理論を用いて、滑らかで射影的な曲線および曲面における安定対$({\cal E}, \alpha: {\cal E} \to {\cal E}_0)$の細な準射影的モジュライ空間の存在を確立し、多項式$\delta$でパrameter化された安定性条件を導入する。主な貢献は、フレームバンドルおよびヒッグス対のモジュライ空間のコンパクト化であり、従来の代数空間から準射影的スキームへの一般化を達成している。

ABSTRACT

We describe stability conditions for pairs consisting of a coherent sheaf and a homomorphism to a fixed coherent sheaf on a projective variety. The corresponding moduli spaces are constructed for pairs on curves and surfaces. We consider two examples. The fixed sheaf is the structure sheaf or is a vector bundle on a divisor, i.e. Higgs pairs or framed bundles, resp. (unencoded version)

研究の動機と目的

• 滑らかで射影的な曲線および曲面上の安定対$({\cal E}, \alpha: {\cal E} \to {\cal E}_0)$の細な準射影的モジュライ空間を構成すること。
• ベクトルバンドルの古典的安定性の概念を一般化するため、パrameter$\delta$を導入して対の安定性を定義すること。
• フレームバンドルおよびヒッグス対のモジュライ空間のコンパクト化を提供することにより、それらが従来は代数空間としてしか構成されていなかったのを補完すること。
• 双対化と安定性条件を通じて、フレームバンドル、レベル構造、ヒッグス対の間の関係を確立すること。
• バゴモロフの制限定理を、曲面内の高次元曲線への制限について、安定対へ一般化すること。

提案手法

• ヒルベルト多項式と部分層のランクを含む2つの不等式を用いて、正の多項式$\delta$に関して、対$({\cal E}, \alpha)$の安定性を定義する。
• 幾何的不変理論（GIT）を用いて、曲線および曲面上の安定対の射影的モジュライ空間を構成する。
• 有界性結果と断面的安定性を用いて、細なモジュライ空間の存在を保証する。
• 不変理論を用いたモジュライ構成の分析を通し、適切性と分離性を保証する技術的命題1.18を証明する。
• ヒッグス対の構成を双対化して、$\mathcal{O}_X$への準同型を持つフレームバンドルを得る。これにより、ねじれを含まない層を用いたコンパクト化が可能になる。
• 安定性パrameter$\delta$を用いて、極限において半安定バンドルのモジュライ空間を近似し、曲面においてタッドゥスの方法を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 曲線および曲面上の安定対$({\cal E}, \alpha: {\cal E} \to {\cal E}_0)$に対して、準射影的モジュライ空間を構成できるか？
• RQ2 対の安定性条件が追加パrameter$\delta$に依存する仕組みは何か、幾何的解釈は何か？
• RQ3 この枠組みを用いて、フレームバンドルのモジュライ空間をコンパクト化し、それが準射影的であることを示せるか？
• RQ4 ヒッグス対とその双対は、モジュライ空間の文脈で、フレームバンドルおよびレベル構造とどのように関係するか？
• RQ5 安定対は高次元曲線への制限においてどのように振る舞い、バゴモロフ型の不等式が成り立つか？

主な発見

• 滑らかで射影的な曲線および曲面上では、定理1.21が示すように、多項式$\delta$に関して、安定対$({\cal E}, \alpha)$の細な準射影的モジュライ空間が存在する。
• ねじれを含まない層を含む対を導入することで、モジュライ空間は自然にコンパクト化され、局所自由層を超えた構成が拡張される。
• ${\cal E}_0 \cong \mathcal{O}_X$のとき、安定対はヒッグス対に対応し、曲線上のランク2ヒッグス対のモジュライ空間は準射影的スキームとして実現される。
• ${\cal E}_0 \cong \mathcal{O}_C^{\oplus r}$であるフレームバンドルに対して、条件$\delta_1 < (r-1)(C.H)$の下で、モジュライ空間は準射影的である。これは以前の結果を一般化する。
• $\max_{0<s<r} \left\{ \frac{r s}{r-s} \sum a_i \nu_s({\cal E}_0, C_i) \right\} < \delta_1 < (r-1)(C.H)$の条件により、フレームバンドルの$\mu$-安定性が保証され、モジュライ空間の準射影性が証明される。
• 本稿では、バゴモロフの制限定理を安定対へ一般化し、十分に高次元の曲線への制限において、安定対が安定バンドルに制限されることを示している。