[論文レビュー] A tight Erd\H{o}s-P\'osa function for long cycles

Frank Mousset, Andreas Noever+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2016

Advanced Graph Theory Research参考文献 8被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、グラフにおける長さが $l$ 以上のサイクルに対して、漸近的に最適な Erdős-Pósa 関数を確立する。任意のグラフは、$k$ 個の頂点に分けられた長さが $l$ 以上のサイクルを含むか、すべての such サイクルと交わるサイズ $\mathcal{O}(kl + k\log k)$ のヒッティングセットを含む。この結果は、以前の境界を厳密にし、$k$ 個の such サイクルを含まないグラフの木幅に対する一致する上界を与える。

ABSTRACT

A classic result of Erd\\H{o}s and P\\'osa says that any graph contains either $k$ vertex-disjoint cycles or can be made acyclic by deleting at most $O(k \\log k)$ vertices. Here we generalize this result by showing that for all numbers $k$ and $l$ and for every graph $G$, either $G$ contains $k$ vertex-disjoint cycles of length at least $l$, or there exists a set $X$ of $\\mathcal O(kl+k\\log k)$ vertices that meets all cycles of length at least $l$ in $G$. As a corollary, the tree-width of any graph $G$ that does not contain $k$ vertex-disjoint cycles of length at least $l$ is of order $\\mathcal O(kl+k\\log k)$. These results improve on the work of Birmel\\'e, Bondy and Reed '07 and Fiorini and Herinckx '14 and are optimal up to constant factors.

研究の動機と目的

• 長さが $l$ 以上のサイクルに対する Erdős-Pósa 関数の漸近的最適性を解明し、Birmelé, Bondy, and Reed (2007) や Fiorini and Herinckx (2014) が残したギャップを埋める。
• すべての長さ $\geq l$ のサイクルに対する頂点ヒッティングセットサイズを上界づける関数 $f(l,k) = \mathcal{O}(kl + k\log k)$ を確立し、既知の下界と定数因子を除いて一致させる。
• 新しいヒッティングセット関数を用いて、長さが $l$ 以上の $k$ 個の頂点に分けられたサイクルを含まないグラフの木幅に対するタイトな上界を導出する。
• 長サイクルに対する Erdős-Pósa 性質が $S$-サイクルやエッジ版 Erdős-Pósa に拡張可能かどうかを検討し、これらの方向における未解決問題を示唆する。

提案手法

• 構造的グラフ分解とプロジェクション技術の組み合わせを用いて、長さが $l$ 以上のすべてのサイクルに対するサイズ $\mathcal{O}(kl + k\log k)$ のヒッティングセットを構築する。
• パスが $G-X$ 内でコアサイクル $C$ に一貫してプロジェクションされるように、$\pi$-保存集合 $X$ を用いることで、プロジェクション下でのサイクル構造を保持する。
• 最小反例の議論とサイクル長の最小性に基づく背理法を用い、$H$-パスのプロジェクションが常に部分グラフ $H_C$ や $H_C - e^*$ 内にあることを示し、構造的制御を確保する。
• 完全グラフと高径路の 3-正則グラフを用いた極値グラフ構成により、ヒッティングセットサイズの下界を確立し、漸近的最適性を証明する。
• Birmelé の定理など既知の木幅に関する結果を活用し、$k$ 個の頂点に分けられた長サイクルを含まないグラフの木幅が $\mathcal{O}(kl + k\log k)$ であることを導出する。
• パス長の境界とサイクルの最小性を用いて、$G-X$ 内でのサイクルプロジェクションとパス挙動の分析に問題を還元し、可能な構成を制約する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 長さが $l$ 以上のサイクルに対する Erdős-Pósa 関数は漸近的に最適であり、$\mathcal{O}(kl + k\log k)$ に改善可能か？
• RQ2 長サイクルのヒッティングセットサイズは $\mathcal{O}(kl + k\log k)$ で抑えられ、極値グラフ構成から得られる既知の下界と一致するか？
• RQ3 長さが $l$ 以上の $k$ 個の頂点に分けられたサイクルを含まないグラフの木幅に対しても $\mathcal{O}(kl + k\log k)$ の境界が成り立つか？
• RQ4 この結果は $S$-サイクル（指定された頂点集合 $S$ と交わるサイクル）や長サイクルのエッジ版 Erdős-Pósa 性質に拡張可能か？

主な発見

• 本稿は、長さが $l$ 以上のすべてのサイクルに対するヒッティングセットをサイズ $6kl + 10k\log_2 k + 40k + 10k\log_2\log_2 k$ で構成し、これは $\mathcal{O}(kl + k\log k)$ であり、定数因子を除いて既知の下界と一致する。
• この境界は漸近的に最適である：$k \geq 2$ のとき、完全グラフ $K_{kl-1}$ から $f(l,k) \geq (k-1)l$ が得られ、$l < \frac{1}{2}\log_2 k$ のとき、高径路の 3-正則グラフから $f(l,k) \geq \frac{1}{8}k\log_2 k$ が得られる。
• 長さが $l$ 以上の $k$ 個の頂点に分けられたサイクルを含まない任意のグラフの木幅は、$\mathcal{O}(kl + k\log k)$ 以下であり、ヒッティングセットサイズと一致する。
• 以前の境界を改善する：Birmelé, Bondy, and Reed (2007) は $\mathcal{O}(lk^2)$、Fiorini and Herinckx (2014) は $\mathcal{O}(lk\log k)$ を得ており、本稿は漸近的に最適な $\mathcal{O}(kl + k\log k)$ を達成する。
• $\pi$-保存集合 $X$ の構成とコアサイクル $C$ へのパスプロジェクションの使用により、新しい短いサイクルが生成されず、最小性が保たれ、背理法の議論が可能になる。
• 本稿は、関数 $f(l,k) = \mathcal{O}(kl + k\log k)$ が定数因子を除いてタイトであることを確認し、Birmelé 他 (2007) や Fiorini と Herinckx (2014) が提起した未解決問題を解決する。