[論文レビュー] Packing a randomly edge-colored random graph with rainbow $k$-outs

Asaf Ferber, Gal Kronenberg+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2014

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 20被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、ランダムに辺色分けされたランダムグラフを、多数の辺に沿わないレインボーサブグラフに分解する手法を提案する。各サブグラフはランダム $ k $-アウトグラフに類似している。最小次数および辺確率の条件下で、高確率に、このようなグラフは $ (1-o(1))\delta(G)p/(2k) $ 個の辺に沿わないレインボーサブグラフを含むことが証明されている。各サブグラフは $ k $-アウトモデルの単調性を保つ。これにより、レインボーハミルトニアンサイクルおよび完全マッチングの漸近的最適パッケージングが得られる。

ABSTRACT

Let $G$ be a graph on $n$ vertices and let $k$ be a fixed positive integer. We denote by $\mathcal G_{ ext{$k$-out}}(G)$ the probability space consisting of subgraphs of $G$ where each vertex $v\in V(G)$ randomly picks $k$ neighbors from $G$, independently from all other vertices. We show that if $δ(G)=ω(\log n)$ and $k\geq 2$, then the following holds for every $p=ω(\log n/δ(G))$. Let $H$ be a random graph obtained by keeping each $e\in E(G)$ with probability $p$ independently at random and then coloring its edges independently and uniformly at random with elements from the set $[kn]$. Then, w.h.p. $H$ contains $t:=(1-o(1))δ(G)p/(2k)$ edge-disjoint graphs $H_1,...,H_t$ such that each of the $H_i$ is \emph{rainbow} (that is, all the edges are colored with distinct colors), and such that for every monotone increasing property of graphs $\mathcal P$ and for every $1\leq i\leq t$ we have $\Pr[\mathcal G_{ ext{$k$-out}}(G)\models \mathcal P]\leq \Pr[H_i\models \mathcal P]+n^{-ω(1)}$. Note that since (in this case) a typical member of $\mathcal G_{ ext{$k$-out}}(G)$ has average degree roughly $2k$, this result is asymptotically best possible. We present several applications of this; for example, we use this result to prove that for $p=ω(\log n/n)$ and $c=23n$, a graph $H\sim \mathcal G_{c}(K_n,p)$ w.h.p. contains $(1-o(1))np/46$ edge-disjoint rainbow Hamilton cycles. More generally, using a recent result of Frieze and Johansson, the same method allows us to prove that if $G$ has minimum degree $δ(G)\geq (1+\varepsilon)n/2$, then there exist functions $c=O(n)$ and $t=Θ(np)$ (depending on $\varepsilon$) such that the random subgraph $H\sim \mathcal G_{c}(G,p)$ w.h.p. contains $t$ edge-disjoint rainbow Hamilton cycles.

研究の動機と目的

• ランダムに辺色分けされたランダムグラフにおける、複数の辺に沿わないレインボーサブグラフをパッケージングする一般的手法の開発を目的とする。
• 与えられたグラフ（特にハミルトニアンサイクルおよび完全マッチング）の辺に沿わないレインボーサブグラフの多数が存在する条件を確立すること。
• このようなレインボーサブグラフの数が、辺密度および色の数の観点から漸近的に最適であることを示すこと。
• 単一のレインボーサブグラフに関する既知の結果を、複数のこのようなサブグラフのパッケージング問題へと拡張すること。

提案手法

• 著者らは、$ G $ の各頂点が独立に一様に $ k $ 個の隣接頂点を選択して形成されるランダム部分グラフである、ランダムグラフモデル $ \mathcal{G}_{k\text{-out}}(G) $ を定義する。
• 最小次数 $ \delta(G) = \omega(\log n) $ かつ $ k \geq 2 $ である $ G $ に対して、$ p = \omega(\log n / \delta(G)) $ および $ c = kn $ を満たすランダムに辺色分けされたグラフ $ H \sim \mathcal{G}_{c}(G,p) $ は、$ t = (1-o(1))\delta(G)p/(2k) $ 個の辺に沿わないレインボーサブグラフに分解可能であることを証明する。
• 各得られたサブグラフ $ H_i $ は、任意の単調増加性を持つ性質 $ \mathcal{P} $ に対して、$ \Pr[H_i \models \mathcal{P}] \geq \Pr[\mathcal{G}_{k\text{-out}}(G) \models \mathcal{P}] - n^{-\omega(1)} $ を満たし、性質の保存が保証される。
• 各頂点から出る $ k $ 本の辺のグループが異なる色を持つようにするための色分けと順序付けの戦略に依存しており、これによりレインボー構造が実現される。
• 色の多様性と辺に沿わない性質を維持するように、反復的に色を割り当てて進める確率的構成により、分解が達成される。
• 既知の $ k $-アウトグラフに関する結果（例えばハミルトニアンサイクルや完全マッチングの存在）を応用し、サブグラフ $ H_i $ においても同様の性質が成り立つことを示す。ユニオンバウンドを用いて、すべての成分で高確率で成立することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダムに辺色分けされたランダムグラフに、最大でいくつの辺に沿わないレインボーハミルトニアンサイクルをパッケージングできるか？
• RQ2 ランダムに辺色分けされたグラフ $ H \sim \mathcal{G}_c(G,p) $ が、$ \mathcal{G}_{k\text{-out}}(G) $ に同型な多数の辺に沿わないレインボーサブグラフを含むための、辺確率 $ p $ および色の数 $ c $ の条件は何か？
• RQ3 $ k $-アウトモデルを用いて、ランダムに辺色分けされたランダムグラフにおける単調性を持つグラフ性質を保てるか？
• RQ4 このようなレインボーサブグラフの数は、辺密度および色の数の観点から漸近的に最適か？

主な発見

• 最小次数 $ \delta(G) = \omega(\log n) $、$ k \geq 2 $、$ p = \omega(\log n / \delta(G)) $ を満たす $ G $ に対して、ランダムグラフ $ H \sim \mathcal{G}_{kn}(G,p) $ は高確率に $ (1-o(1))\delta(G)p/(2k) $ 個の辺に沿わないレインボーサブグラフを含み、各サブグラフは $ \mathcal{G}_{k\text{-out}}(G) $ の単調性を保つ。
• $ G = K_n $、$ p = \omega(\log n / n) $、$ c = 23n $ のとき、$ H \sim \mathcal{G}_{23n}(K_n,p) $ は高確率に $ (1-o(1))np/46 $ 個の辺に沿わないレインボーハミルトニアンサイクルを含む。
• $ \varepsilon > 0 $ に対して $ \delta(G) \geq (1+\varepsilon)n/2 $ ならば、$ c = O(n) $ かつ $ p = \omega(\log n / n) $ のとき、$ H \sim \mathcal{G}_{c}(G,p) $ は高確率に $ \Theta(np) $ 個の辺に沿わないレインボーハミルトニアンサイクルを含む。
• この手法は、典型的な $ \mathcal{G}_{k\text{-out}}(G) $ グラフにおける平均次数 $ \approx 2k $ が示す理論的上限に一致するため、漸近的に最適なパッケージングを達成する。
• 完全マッチングに対しても拡張可能である：$ G = K_{n,n} $、$ c = 3n $、$ p = \omega(\log n / n) $ のとき、$ H \sim \mathcal{G}_{3n}(K_{n,n},p) $ は高確率に $ (1-o(1))np/6 $ 個の辺に沿わないレインボーパーフェクトマッチングを含む。