[論文レビュー] A transformation for Lévy processes with one-sided jumps and applications

Marie Chazal, Andreas E. Kyprianou+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2010

Stochastic processes and financial applications参考文献 34被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、片側ジャンプをもつスプライタルに負のレヴィ過程のラプラス指数に対して、三パラメータ線形変換 $\mathcal{T}_{\delta,\beta}$ を導入し、エッシャー変換を拡張する。スケール関数、指数関数的機能、正の自己相似マルコフ過程との関連を確立し、インターウィーブィングおよび固有関数関係を通じて、超幾何関数およびミットァグ・レフラー型関数を含む新しい恒等式を導出する。

ABSTRACT

The aim of this work is to extend and study a family of transformations between Laplace exponents of Lévy processes which have been introduced recently in a variety of different contexts by Patie, Kyprianou and Patie, and, Gnedin, as well as in older work of Urbanik . We show how some specific instances of this mapping prove to be useful for a variety of applications.

研究の動機と目的

• 片側ジャンプをもつスプライタルに負のレヴィ過程のラプラス指数間の変換族を拡張し、研究すること。
• フラクチュエーション理論、指数関数的機能、正の自己相似マルコフ過程の既存結果を統一・一般化すること。
• ラプラス指数を自身へ写像するパrametric変換 $\mathcal{T}_{\delta,\beta}$ を確立し、新たな構造的恒等式を明らかにすること。
• 変換を半群の固有関数と結びつけ、超幾何関数およびミットァグ・レフラー関数を含む新たな表現を導出すること。

提案手法

• 変換 $\mathcal{T}_{\delta,\beta}\psi(u) = \frac{u+\beta-\delta}{u+\beta}\psi(u+\beta) - \frac{\beta-\delta}{\beta}\psi(\beta)$ は $u \geq -\beta$ に対して定義され、エッシャー変換を一般化する。
• この変換が線形的であり、合成に関して閉じていることが示され、$\mathcal{T}_{\gamma} \circ \mathcal{T}_{\beta} = \mathcal{T}_{\gamma+\beta}$ が成り立ち、$\mathcal{T}_{\beta} = \mathcal{T}_{\beta,\beta}$ である。
• 正の自己相似マルコフ過程の半群とその生成作用素の間のインターウェーブィング関係を用いて、固有関数恒等式を導出する。
• 整関数 $\mathcal{I}_{\psi}(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n(\psi) z^n$ を定義し、ここで $a_n(\psi)^{-1} = \prod_{k=1}^n \psi(k)$ である。この関数が生成作用素 $\mathbf{L}^\psi$ の 1-固有関数であることを示す。
• この変換を用いて、$\mathbf{D}^{\theta,\delta}\mathcal{I}_{\psi_\theta}(x) = \mathcal{I}_{\mathcal{T}_{\delta,\theta}\psi}(x)$ といった恒等式を導出し、分数階微分と変換されたラプラス指数を結びつける。
• ワイエルシュトローム超幾何関数 ${}_2F_2$ およびミットァグ・レフラー関数を用いた明示的例が導出され、$\Gamma(\alpha)\mathbf{D}^{\theta,\delta}\mathcal{E}_{\alpha,\alpha}(x) = {}_2F_2(\cdots)$ が示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 片側ジャンプをもつスプライタルに負のレヴィ過程のラプラス指数に対する一般化された変換をどのように構成すれば、既存のフラクチュエーション恒等式と指数関数的機能の結果を統一できるか？
• RQ2 $\mathcal{T}_{\delta,\beta}$ 変換が正の自己相似マルコフ過程の半群の固有関数をどのように関連付けるか？
• RQ3 変換されたラプラス指数 $\mathcal{T}_{\delta,\beta}\psi$ は、ミットァグ・レフラー関数や超幾何関数といった既知の特殊関数とどのように関係するか？
• RQ4 この変換を用いて、レヴィ過程のスケール関数や指数関数的機能の新たな表現を導出できるか？
• RQ5 変換が元のレヴィ過程の構造を保ち、固有関数恒等式を許容するための条件は何か？

主な発見

• 変換 $\mathcal{T}_{\delta,\beta}$ は、片側ジャンプをもつスプライタルに負のレヴィ過程のラプラス指数を自身へ写像し、エッシャー変換を一般化する。
• $\psi(u) = (\alpha u)_\alpha$ の場合、関数 $\mathcal{I}_{\psi_{1/\alpha}}(x) = \Gamma(\alpha)\mathcal{E}_{\alpha,\alpha}(x)$ が生成作用素 $\mathbf{L}^\psi$ の 1-固有関数であることが示され、ミットァグ・レフラー関数と結びつく。
• $\delta < \theta + 1$ の場合、恒等式 $\mathbf{D}^{\theta,\delta}\mathcal{I}_{\psi_\theta}(x) = \mathcal{I}_{\mathcal{T}_{\delta,\theta}\psi}(x)$ が確立され、分数階微分と変換されたラプラス指数を結びつける。
• $\psi(u) = u^\alpha$ の場合、関数 $\mathcal{I}_{\psi}(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{\Gamma^\alpha(n+1)}x^n$ が導出され、$\delta < 1$ の場合に $\mathbf{D}^{1,\delta}\mathcal{I}_{\psi}(x) = \mathcal{I}_{\mathcal{T}_{\delta,0}\psi}(x)$ が成り立ち、変換された関数は $\Gamma$-比を用いて表現される。
• 明示的な超幾何恒等式が導出され、$\Gamma(\alpha)\mathbf{D}^{\theta,\delta}\mathcal{E}_{\alpha,\alpha}(x) = {}_2F_2\left(\left.\begin{array}{c}(1,1/\alpha+1),(1,1)\\(1,1/\alpha+1-\delta),(α,α)\end{array}\right|x\right)$ が成り立つ。
• この変換は、関連する確率変数 $J_{\psi_\theta}$ のモーメント決定性を保ち、導出された級数表現および関数的恒等式の有効性を保証する。