[論文レビュー] A Truly Conformable Calculus on Time Scales

Benaoumeur Bayour, Ahmed Hammoudi+1 more|arXiv (Cornell University)|May 24, 2017

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、任意の時刻スケール上で真正の共形微分積分を定義する新しい共形デルタ微分作用素 Δ^α を導入し、α=0 で恒等作用素に、α=1 で標準的なデルタ微分に還元される。主な貢献は、時刻スケール上での共形微分積分の統一的枠組みを提供することであり、古典的共形微分を一般化し、共形三角関数および双曲線関数の研究を可能にするとともに、時刻スケール上の指数関数を用いた線形共形動的方程式の解が得られる。

ABSTRACT

We introduce the definition of conformable derivative on time scales and develop its calculus. Fundamental properties of the conformable derivative and integral on time scales are proved. Linear conformable differential equations with constant coefficients are investigated, as well as hyperbolic and trigonometric functions.

研究の動機と目的

• 既存の時刻スケール上での共形微分の限界、特に α→0 のとき恒等作用素に還元されない点を是正する。
• 任意の時刻スケール上で、すべての右稠密連続関数に対して Δ^0f = f および Δ^1f = f^Δ を満たす真正の共形微分積分を構築する。
• 実数直線を超えて一般の時刻スケールへ共形微分の理論を拡張し、基本的な微分積分学的性質を保持する。
• 時刻スケール上の指数関数を用いて共形三角関数および双曲線関数を定義し、それらの基本的恒等式を確立する。

提案手法

• κ₀(α,t) および κ₁(α,t) を右稠密連続関数とし、Δ^αf(t) = κ₁(α,t)f(t) + κ₀(α,t)f^Δ(t) として共形デルタ微分を定義。
• Δ^α が共形的であることを保証するため、lim_{α→0⁺} κ₁(α,t) = 1、lim_{α→0⁺} κ₀(α,t) = 0、lim_{α→1⁻} κ₁(α,t) = 0、lim_{α→1⁻} κ₀(α,t) = 1 を要求する。
• 共形微分を用いて共形指数関数 E_{ip}(·,t₀) を構成し、時刻スケール上の標準指数関数を一般化する。
• 共形三角関数を cos_{γΔ^α}(t,t₀) = (E_{iγ}(t,t₀) + E_{-iγ}(t,t₀))/2 および sin_{γΔ^α}(t,t₀) = (E_{iγ}(t,t₀) - E_{-iγ}(t,t₀))/(2i) として定義する。
• cos²_{γΔ^α} + sin²_{γΔ^α} = E_{ip}(·,t₀)E_{-ip}(·,t₀) などの基本的恒等式を導出し、直接計算により検証する。
• 非退化性条件の下で、共形動的方程式 Δ^αΔ^αy + γ²y = 0 の解が y(t) = c₁cos_{γΔ^α}(t,t₀) + c₂sin_{γΔ^α}(t,t₀) で与えられることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時刻スケール上での共形微分をどのように定義すれば、α=0 で恒等作用素に、α=1 で標準的デルタ微分に還元されるか？
• RQ2 微分作用素 Δ^α が共形的であるための、係数 κ₀(α,t) および κ₁(α,t) の必要十分条件は何か？
• RQ3 時刻スケール上での共形三角関数および双曲線関数は、標準的指数関数とどのように関係するか？
• RQ4 時刻スケール上での形 Δ^αΔ^αy + γ²y = 0 の線形共形動的方程式の一般解構造は何か？
• RQ5 共形正弦および余弦関数のロンスキアンが非ゼロとなる条件は何か？これにより基本解系が保証される。

主な発見

• 共形微分 Δ^αf(t) = κ₁(α,t)f(t) + κ₀(α,t)f^Δ(t) は Δ^0f = f および Δ^1f = f^Δ を満たし、任意の時刻スケール上で真正の共形微分積分を確立する。
• 共形指数関数 E_{ip}(t,t₀) は共形微分を用いて定義され、時刻スケール上の標準指数関数を一般化する。
• 共形三角関数は恒等式 cos²_{γΔ^α}(t,t₀) + sin²_{γΔ^α}(t,t₀) = E_{ip}(t,t₀)E_{-ip}(t,t₀) を満たし、ピタゴラスの定理を一般化する。
• ℝ 上では、共形余弦および正弦関数はそれぞれ e^{-∫_{t₀}^t κ₁(s,t₀)/κ₀(s,t₀) ds} cos(∫_{t₀}^t γ/κ₀(s,t₀) ds) および e^{-∫_{t₀}^t κ₁(s,t₀)/κ₀(s,t₀) ds} sin(∫_{t₀}^t γ/κ₀(s,t₀) ds) に還元される。
• 共形動的方程式 Δ^αΔ^αy + γ²y = 0 の一般解は、ロンスキアンが非ゼロであれば y(t) = c₁cos_{γΔ^α}(t,t₀) + c₂sin_{γΔ^α}(t,t₀) で与えられる。
• 共形正弦および余弦関数のロンスキアンは γE_{ip}(t,t₀)E_{-ip}(t,t₀) であり、条件 κ²₀ - 2μκ₀κ₁ + μ²(γ² + κ²₁) ≠ 0 の下で非ゼロとなり、線形独立性が保証される。