[論文レビュー] A "Twistor String" Inspired Formula For Tree-Level Scattering Amplitudes in N=8 SUGRA

Freddy Cachazo, Yvonne Geyer|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2012

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 28被引用数 45

ひとこと要約

本稿は、Wittenの-twistor stringアプローチおよび${\cal N}=4$ SYMのRSVW公式をインspiredして、${\cal N}=8$超重力における木レベル散乱振幅の新しいグラスマンニアン積分公式を提案する。この公式は、$G(2,n)$から$G(k,n)$へのヴェロネーゼ写像を用い、被積分関数は2つの行列式の比から構成される—1つはホッジのMHV公式に類似した行列から得られ、もう1つは$2(n+k)\times 2(n+k)$の小行列式から得られる。この構成により、明示的な$S_n$不変性および$SU(8)$共変性が保証され、$n$に対してべき乗的成長を示す振幅が得られ、${\cal N}=8$ SUGRAの単純性に対する強い証拠が得られる。

ABSTRACT

We propose a new formulation of the complete tree-level S-matrix of N = 8 supergravity. The new formula for n particles in the k R-charge sector is an integral over the Grassmannian G(2,n) and uses the Veronese map into G(k,n). The image of a point in G(2,n) is required to be in the "complement" of a 2|8-plane thus making the SU(8) R-symmetry manifest. The integrand is the ratio of two determinants. The numerator is an analog of Hodges' recent determinant formula for MHV amplitudes. The denominator is a 2(n+k-2) x 2(n+k-2) minor of a 2(n+k) x 2(n+k) matrix of rank 2(n+k-2). Just as Hodges' formula does for MHV amplitudes, our integrand makes the complete invariance under Sn manifest for all sectors. The validity of the new formula follows from two surprising facts. One is the equivalence of Hodges' MHV formula and the Kawai-Lewellen-Tye (KLT) formula when kinematic invariants are allowed to be off-shell in a novel way. We give a proof of this for any number of particles. The second fact is an orthogonality property of the solutions to the polynomial equations defining the Veronese embedding. Explicit proof of the orthogonality is given for all amplitudes in all R-charge sectors with eight or less particles thus providing non-trivial evidence for our proposal.

研究の動機と目的

• ${\cal N}=8$超重力の完全で明示的な対称性を保つ木レベルS行列を構築し、従来の方法の階乗的成長を回避すること。
• twistor stringにインspiredされたRSVW公式を${\cal N}=4$ SYMから${\cal N}=8$ SUGRAへ拡張し、主要な対称性を保ちつつ振幅構造を単純化すること。
• $S_n$および$SU(8)$不変性が明示的である新しい枠組みを確立し、項の数が階乗的ではなくべき乗的成長となるようにすること。
• 8粒子までにわたる既知の公式との等価性と直交性関係の明示的検証を通じて、提案の非自明な証拠を提供すること。

提案手法

• 振幅は$G(2,n)$上のグラスマンニアン積分として定式化され、ヴェロネーゼ写像により点が$G(k,n)$に埋め込まれ、Rチャージセクターを符号化する。
• 被積分関数は2つの行列式の比として構成される：$H_n$は変更されたホッジ型行列$\Phi$から得られる。$J_n$はランク$2(n+k-2)$の$2(n+k)\times 2(n+k)$行列から得られる。
• 分子$H_n$は、3行3列を削除した$\Phi^{(abc)}_{(def)}$小行列式の行列式として定義され、$(a~b)(b~c)(c~a)$および$(d~e)(e~f)(f~d)$で正規化される。
• 分母$J_n$はボソン的冗長性を介して構築され、$\phi$および$\varphi$変数を含む経路積分表現を介して、行列式に類似した構造をもたらす。
• 運動量およびスーパーモーメンタム制約を課すためにデルタ関数が使用され、$\delta^{2}(\sum \rho_\alpha C^V_{\alpha a} - \lambda_a)$および$\delta^{0|8}(\sum C^V_{\alpha a} \tilde{\eta}_a)$である。
• twistor空間の定式化は、$s_{ab}$を微分作用素$-[a~b]\langle \partial / \partial \mu_a \partial / \partial \mu_b \rangle$に置き換えることで得られ、$H_n$は微分作用素$\widehat{H}_n$に変換される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 twistor stringにインスパイアされた公式を${\cal N}=8$超重力に対して構築可能か。その場合、$S_n$および$SU(8)$対称性が明示的に現れるか。
• RQ2 提案された公式は、従来の振幅計算の階乗的成長を回避しつつ、正しい運動学的および超対称性構造を保つことができるか。
• RQ3 運動的インバリアントがオフシェルの場合でも、ホッジのMHV公式とKLT公式の等価性が成立するか。これは提案の整合性を保証する上で重要なチェックである。
• RQ4 ヴェロネーゼ埋め込み方程式の解が、振幅が非ゼロかつ整合的であるために必要な直交性を満たしているか。
• RQ5 重力振幅に対してtwistor空間の定式化を導出可能か。また、その場合、局在化およびコンフォーマル不変性の観点から、ゲージ理論の場合とどのように異なるか。

主な発見

• 提案された公式は、項の数が$n$に対してべき乗的成長を示す一方で、標準的定式化の$(n-3)!$成長とは対照的であり、${\cal N}=8$ SUGRAの単純性を強く支持する。
• 被積分関数の構造により、$S_n$置換群および$SU(8)$Rスymmetryに対する明示的不変性が保証され、ヴェロネーゼ写像がRチャージセクターを符号化する。
• 運動的インバリアントがオフシェルに許容される任意の$n$に対して、ホッジのMHV公式とKLT公式の等価性が証明され、重要な整合性のチェックが達成された。
• 8粒子までのすべての振幅について、ヴェロネーゼ解の直交性の性質を明示的に検証した。これは、提案に対する強い非自明な証拠を提供する。
• twistor空間の定式化では、分子$H_n$が微分作用素$\widehat{H}_n$に変換され、デルタ関数の制約が変形される。これは、コンフォーラル不変性の破れを示し、幾何学的意味を持つ。
• 分母$J_n$はボソン的冗長性に起因することを示し、ゲージ不変性を保つ経路積分表現を介して、積分の整合性を支持する。