[論文レビュー] A Two-Parameter Family of Infinite-Dimensional Diffusions in the Kingman Simplex

Leonid Petrov|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2007

Bayesian Methods and Mixture Models参考文献 22被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、対称関数の稠密な代数上で定義された2階微分作用素 $A$ を用いて、無限次元のキングマン単体 $\overline{\nabla}_{\infty}$ 内に2パラメータ族の無限次元拡散過程 $\mathbf{X}_{\alpha,\theta}(t)$ を構成する。主な結果は、2パラメータのポisson-ディリクレ測度 $\mathrm{PD}(\alpha,\theta)$ がこの過程の唯一の不変かつ可逆な確率測度であり、スペクトルギャップの存在からエルゴディック性が導かれるというものである。

ABSTRACT

The aim of the paper is to introduce a two-parameter family of infinite-dimensional diffusion processes X(alpha,theta) related to Pitman's two-parameter Poisson-Dirichlet distributions PD(alpha,theta). The diffusions X(alpha,theta) are obtained in a scaling limit transition from certain finite Markov chains on partitions of natural numbers. The state space of X(alpha,theta) is an infinite-dimensional simplex called the Kingman simplex. In the special case when parameter alpha vanishes, our finite Markov chains are similar to Moran-type model in population genetics, and our diffusion processes reduce to the infinitely-many-neutral-alleles diffusion model studied by Ethier and Kurtz (1981). Our main results extend those of Ethier and Kurtz to the two-parameter case and are as follows: The Poisson-Dirichlet distribution PD(alpha,theta) is a unique stationary distribution for the corresponding process X(alpha,theta); the process is ergodic and reversible; the spectrum of its generator is explicitly described. The general two-parameter case seems to fall outside the setting of models of population genetics, and our approach differs in some aspects from that of Ethier and Kurtz. We also consider the case of degenerate series of parameters alpha and theta and conclude that the diffusions in finite-dimensional simplexes studied by Ethier and Kurtz (1981) arise as a special case of our two-parameter family of diffusions.

研究の動機と目的

• パrameter $\alpha \in [0,1)$ および $\theta > -\alpha$ を持つ、無限次元キングマン単体 $\overline{\nabla}_{\infty}$ 内の連続時間マコフ過程を構成すること。
• モーメント座標 $q_k(x) = \sum_{i=1}^\infty x_i^{k+1}$ を用いて、$\overline{\nabla}_{\infty}$ 内の対称関数の稠密な代数上で定義された2階微分作用素 $A$ を定義すること。
• 2パラメータのポアソン-ディリクレ測度 $\mathrm{PD}(\alpha,\theta)$ がこの過程の唯一の不変確率測度であることを確立すること。
• 作用素のスペクトルにスペクトルギャップが存在することから、この過程がエルゴディックであることを示すこと。
• 分割構造 $\mathbb{K}_n$ 上の上り下りマコフ連鎖の極限的構成により、人口遺伝学で知られる有限次元拡散過程と無限次元極限を統一すること。

提案手法

• 非増加列からなる $[0,1]^\infty$ の部分集合として、無限次元単体 $\overline{\nabla}_{\infty}$ を定義し、座標ごとの収束位相を備える。
• モーメント関数 $q_k(x) = \sum_{i=1}^\infty x_i^{k+1}$ によって生成される代数 $\mathcal{F} = \mathbb{R}[q_1, q_2, \dots]$ を導入し、これは $C(\overline{\nabla}_{\infty})$ で稠密であることを示す。
• $q_k$ を用いた係数に $\alpha$ と $\theta$ を含む、$\mathcal{F}$ 上の形式的2階微分作用素 $A$ を構成し、$q_k$-座標および自然な $x_i$-座標の両方で表現する。
• 作用素 $A$ が $C(\overline{\nabla}_{\infty})$ 内で閉じられることを示し、その閉包 $\overline{A}$ が連続パスを持つ強いマコフ過程を生成することを確立する。
• 分割構造 $\mathbb{K}_n$ 上の有限次元の上り下りマコフ連鎖から極限的構成を用い、2パラメータのエヴェンス・ピットマン分割構造に対応する測度 $M_n$ を導入する。
• 有限次元の拡散過程 $\mathbf{Y}_{N,\eta}(t)$ が、$\alpha = -\beta$, $\theta = N\beta$ のとき $\mathbf{X}_{\alpha,\theta}(t)$ の特別な場合として得られ、$N \to \infty$, $\beta \to 0$, $N\beta \to \eta$ の極限で $\mathbf{X}_{\alpha,\theta}(t)$ がこの系列の極限として得られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限次元キングマン単体 $\overline{\nabla}_{\infty}$ 内に、$0 \leq \alpha < 1$, $\theta > -\alpha$ の条件下で、2パラメータ族の拡散過程を構成でき、$\mathrm{PD}(\alpha,\theta)$ を不変測度とすることができるか？
• RQ2 拡散過程の生成子はモーメント座標 $q_k(x) = \sum_{i=1}^\infty x_i^{k+1}$ とどのように関係するか？ また、$q_k$-座標および $x_i$-座標の両方で表現可能か？
• RQ3 無限次元拡散 $\mathbf{X}_{\alpha,\theta}(t)$ と、人口遺伝学で研究された $\nabla_N$ 内の有限次元拡散の間にはどのような関係があるか？
• RQ4 過程 $\mathbf{X}_{\alpha,\theta}(t)$ はスペクトルギャップを有するか？ そしてそのことはエルゴディック性にどのような意味を持つのか？
• RQ5 この過程は、分割構造上の有限マコフ連鎖の極限として構成可能か？ また、$\alpha = 0$ の場合に既知の結果をどのように一般化するか？

主な発見

• $\mathcal{F}$ 上で定義された作用素 $A$ は $C(\overline{\nabla}_{\infty})$ 内で閉じられ、その閉包 $\overline{A}$ は $\overline{\nabla}_{\infty}$ 内で連続パスを持つ強いマコフ過程を生成する。
• 2パラメータのポアソン-ディリクレ測度 $\mathrm{PD}(\alpha,\theta)$ は、$\mathbf{X}_{\alpha,\theta}(t)$ の唯一の不変確率測度であり、この測度に関して可逆である。
• 生成子 $\overline{A}$ のスペクトルが明示的に記述され、スペクトルギャップの存在から、この過程が $\mathrm{PD}(\alpha,\theta)$ の下でエルゴディックであることが導かれる。
• 以前に人口遺伝学で研究された有限次元の拡散 $\mathbf{Y}_{N,\eta}(t)$ は、$\alpha = -\beta$, $\theta = N\beta$, かつ $\beta \to 0$, $N \to \infty$, $N\beta \to \eta > 0$ のとき、$\mathbf{X}_{\alpha,\theta}(t)$ の特別な場合として得られる。
• $\mathbf{X}_{\alpha,\theta}(t)$ は、分割構造上の上り下りマコフ連鎖の極限として得られ、$n \to \infty$ のとき、遷移作用素が $\mathcal{F}_N$-代数内で生成子 $A_{N,\beta(N-1)}$ に収束する。これにより、有限次元モデルと整合することが確認される。
• $\nabla_N$ 内の過程 $\mathbf{X}_{-\beta,N\beta}(t)$ が $\overline{\nabla}_{\infty}$ 内の $\mathbf{X}_{0,\eta}(t)$ に収束する際、不変測度の収束が強化され、無限次元極限の整合性が裏付けられる。