[論文レビュー] A Unified Analysis of Nonconforming Virtual Element Methods for Convection Diffusion Reaction Problem

Dibyendu Adak, E. Natarajan|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2016

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、優勢な対流を示す対流拡散反応問題に対して安定化された非適合仮想有限要素法（VEM）を提案する。$L^2$-射影作用素を用いて安定性と多項式の一貫性を確保する。この枠組みは拡散が消える極限において最適収束を達成し、明示的な基底関数を必要とせず自由度のみを用いて計算が可能であるが、収束には $k \geq 2$ の多項式次数およびより高いソースの正則性が必要である。

ABSTRACT

We discuss nonconforming virtual element method for convection dominated (diffusive coefficient is very small compared to convective coefficient and reac- tion coefficient ) convection-diffusion-reaction equation using L^2 projection operator.In this paper we stabilize the stabilization terms using same technique which is used for stabilization of symmetric part in VEM, where T is an arbitrary element, and assume H^2(T) regularity on each element to prove polynomial consistency where v_h is approximate solution.We have shown that linear nonconforming VE is not convergent for convection dominated convection-diffusion reaction problem and higher regu larity of f ,source term is also needed for convergence analysis.The novelty of this paper is we introduce a new SDFEM type nonconforming virtual element method for convection-dominated convection diffusion reaction equation, and discuss the computability issue using degrees of freedom of element without explicit knowledge of basis functions of virtual element methods.The present framework is stable in the limit of vanishing diffusion.

研究の動機と目的

• 小拡散を伴う対流拡散反応問題に対する安定で非適合な仮想有限要素法の開発。
• ストリームライン拡散型安定化を用いて、標準ガレルキン法における非物理的振動を解消する。
• $L^2$-射影と離散解のより高い正則性仮定を用いて、多項式の一貫性と安定性を保証する。
• 明示的な基底関数の知識を避けて、自由度のみを用いて計算可能性を確立する。
• ソース項およびメッシュに関する最小限の仮定の下で収束性と事前誤差推定を確立する。

提案手法

• 非対称な双線形形式（対流項および反応項に起因）の安定化に $L^2$-射影作用素を用いる。
• 安定化項は、VEMにおける対称部と同様の技術で構築され、具体的には $\int_T (\vec{b} \cdot \nabla u)(\vec{b} \cdot \nabla v)$ を用いる。
• 離散解 $v_h|_T \in H^2(T)$ を仮定することで多項式の一貫性を証明するが、収束には $H^3(T)$ のより高い正則性が必要である。
• メッシュ依存ノルムを用いて離散双線形形式を解析し、強制性と有界性を確立する。
• 計算手順は、基底関数を明示的に知らずにモーメントおよび射影を計算する自由度に依存する。
• 多項式の $L^2$-射影を計算するために楕円型射影作用素を用い、次数 $k-2$ までを扱い、高次には近似を用いて拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $L^2$-射影を用いて、対流優勢な対流拡散反応問題に対する非適合仮想有限要素法を安定化できるか。
• RQ2 非対称問題において $L^2$-射影を用いた非適合VEMで多項式の一貫性が達成可能か。
• RQ3 拡散が消える極限（$\epsilon \to 0$）においても、この方法は安定かつ収束するか。
• RQ4 離散双線形形式のすべての項が、明示的な基底関数を必要とせず自由度のみを用いて計算可能か。
• RQ5 収束に必要な正則性仮定は何か。また、線形非適合VEMはこの文脈で失敗するか。

主な発見

• 線形非適合仮想有限要素は、対流優勢問題では収束しない。収束には $k \geq 2$ の多項式次数が必要である。
• ソース項 $f$ が各要素 $T$ で $H^s(T)$ に属し、$s \geq 1$ を満たすと仮定すると、最適収束率が達成される。
• $L^2$-射影作用素により、小拡散の極限でさえも非対称双線形形式の安定かつ一貫性のある解析が可能である。
• 離散双線形形式のすべての項が自由度のみを用いて計算可能であり、この方法の実用的妥当性が裏付けられる。
• メッシュ依存ノルムにおいて枠組みは安定かつ強制的であり、対流優勢問題に対して頑健であることが保証される。
• 非適合性に起因する一貫性誤差は、パッチテストにより評価され、内部境界に沿った非適合性を考慮する。