[論文レビュー] A Unified Sheaf-Theoretic Account Of Non-Locality and Contextuality

Samson Abramsky, Adam Brandenburger|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2011

Quantum Mechanics and Applications参考文献 36被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、モノイドと層理論を用いて、量子系における非局所性および文脈性を統一的に特徴付ける層論的枠組みを提示する。実験的モデルが拡張可能（つまり、すべての測定文脈において一貫している）であるための必要十分条件は、それを実現する因数分解可能な隠れ変数モデルが存在することであると証明しており、測定の非可換性が量子力学における非局所的および文脈的挙動の根本的要因であることを確立している。

ABSTRACT

A number of landmark results in the foundations of quantum mechanics show that quantum systems exhibit behaviour that defies explanation in classical terms, and that cannot be accounted for in such terms even by postulating “hidden variables” as additional unobserved factors. Much has been written on these matters, but there is surprisingly little unanimity even on basic definitions or the inter-relationships among the various concepts and results. We use the mathematical language of sheaves and monads to give a very general and mathematically robust description of the behaviour of systems in which one or more measurements can be selected, and one or more outcomes observed. We say that an empirical model is extendable if it can be extended consistently to all sets of measurements, regardless of compatibility. A hidden-variable model is factorizable if, for each value of the hidden variable, it factors as a product of distributions on the basic measurements. We prove that an empirical model is extendable if and only if there is a factorizable hidden-variable model which realizes it. From this we are able to prove generalized versions of well-known No-Go theorems. At the conceptual level, our equivalence result says that the existence of incompatible measurements is the essential ingredient in non-local and contextual behavior in quantum mechanics.

研究の動機と目的

• 非局所性および文脈性に関する量子力学の基礎における概念的・定義的不整合を解消すること。
• 量子系における測定行動を数学的に厳密かつ一般化された枠組みで記述すること。
• 実験的モデルの拡張可能性と因数分解可能な隠れ変数モデルの存在との関係を明確化すること。
• 層論的道具を用いて、よく知られた反証定理を一般化すること。
• 測定の非可換性が、量子系における非局所的および文脈的挙動の根本的起源であることを確立すること。

提案手法

• 本稿は、測定文脈ごとの実験的データをモデル化するために層理論を用い、結果を測定文脈上のセクションとして扱う。
• 重み付き構造の形式的定式化と、重複する測定集合間での一貫性条件の定式化のためにモノイドを導入する。
• 拡張可能性は、測定の可換性にかかわらず、すべての可能な測定組み合わせに対してグローバルセクションが存在することとして定義される。
• 隠れ変数モデルの因数分解可能性は、個々の測定における積測度への確率分布の分解として形式化される。
• 圏論を用いて、さまざまな文脈性および非局所性の概念を一つの数学的構造に統一する。
• 拡張可能性と因数分解可能性の同値性の証明は、層論的設定内でのコhomologicalおよび圏論的技法に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 測定の可換性にかかわらず、実験的モデルがすべての測定文脈に一貫して拡張可能となる条件は何か？
• RQ2 隠れ変数モデルが測定ごとに因数分解可能となる正確な数学的特徴は何か？
• RQ3 測定の非可換性は、量子系における非局所的および文脈的挙動の出現とどのように関係しているか？
• RQ4 Kochen-Specker定理やベルの定理といったよく知られた反証定理が、この一般枠組みの特殊ケースとして導かれるか？
• RQ5 層論的整合性条件が、古典的挙動と量子的挙動を区別する上で果たす正確な役割は何か？

主な発見

• 実験的モデルが拡張可能（つまり、すべての測定文脈にわたる結果のグローバル割り当てが可能）であるための必要十分条件は、それを再現する因数分解可能な隠れ変数モデルが存在することである。
• 拡張可能性と因数分解可能性の同値性は、測定の非可換性が原因である非局所性および文脈性を統一的に理解する基盤を提供する。
• この枠組みは、ベルの定理やコヘン＝スパークルの定理を、より広範な層論的原理の特殊ケースとして一般化する。
• 数学的構造は、測定の非可換性が、量子力学における非局所的および文脈的挙動の本質的資源であることを明らかにする。
• 層とモノイドの使用により、実験的モデルとその実現可能性の正確な圏論的定式化が可能となり、従来の手法における曖昧さが解消された。
• 結果として、拡張不能な任意の実験的モデルは、測定文脈構造に応じて本質的に文脈的または非局所的であることが示された。