[論文レビュー] A unifying approach to branching processes in varying environments

Götz Kersting|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2017

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 17被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、変動環境下の分岐過程（BPVE）の統一的枠組みを提示し、確実な絶滅、マルティンググールの二階可積分性、およびヤグロム型の指数分布への収束に関する一般的基準を確立する。2次モーメントにやや強い一様性条件を課すことにより、著者らはBPVEを臨界的、上臨界的、下臨界的領域に分類し、時間依存の子孫分布に対する最小限の仮定のもとで、先行研究を統合・拡張する。

ABSTRACT

Branching processes $(Z_n)_{n \ge 0}$ in a varying environment generalize the Galton-Watson process, in that they allow time-dependence of the offspring distribution. Our main results concern general criteria for a.s. extinction, square-integrability of the martingale $(Z_n/\mathbf E[Z_n])_{n \ge 0}$, properties of the martingale limit $W$ and a Yaglom type result stating convergence to an exponential limit distribution of the suitably normalized population size $Z_n$, conditioned on the event $Z_n >0$. The theorems generalize/unify diverse results from the literature and lead to a classification of the processes.

研究の動機と目的

• 時間依存の子孫分布を許容する変動環境下の分岐過程（BPVE）に関する既存結果を統一・一般化すること。
• 確実な絶滅、正規化された集団サイズのマルティンググールの二階可積分性、および非絶滅条件下での集団サイズの分布収束に関する一般的基準を確立すること。
• 一様な条件セットを用いて、BPVEを臨界的、上臨界的、下臨界的領域に分類すること。
• 平均に対する2次階乗モーメントの均一性というやや強い正則性条件を同定し、特異的でない、一般の挙動を保証し、病理的ないし非一般的な成長・絶滅パターンを除外すること。

提案手法

• 子孫分布の2次階乗モーメントが平均と少なくとも1人の子孫を持つ確率の積に対して一様に有界であることを要請する正則性条件（A）を導入する。
• 母関数と再帰的モーメント解析を用いて、世代を跨ぐ集団サイズ $ Z_n $ の平均および2次階乗モーメントを特徴付ける。
• マルティンググール収束理論とラプラス変換技法を用いて、非絶滅条件下での $ Z_n $ の極限挙動を分析する。
• $ \mathbf{E}[Z_n \mid Z_n > 0] $ の収束と、和 $ \sum_{k=1}^n \nu_k / \mu_{k-1} $ の発散との間の同値性を確立する。ここで $ \nu_k $ は正規化された2次階乗モーメント、$ \mu_k $ は平均子孫数である。
• 母関数の漸近的展開と指数モーメント推定を用いてヤグロム型極限定理を導出し、適切な正規化のもとで $ Z_n / b_n $ が指数分布に分布収束することを示す。
• 臨界的領域において、生存確率 $ \mathbf{P}(Z_n > 0) $ が $ \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n \nu_k / \mu_{k-1} $ に漸近的に等しいことを証明し、生存確率を子孫分布の累積分散と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 変動環境下の分岐過程が確実に絶滅する条件は何か？
• RQ2 正規化された集団サイズ $ Z_n / \mathbf{E}[Z_n] $ が二階可積分なマルティンググールであるのはいつか？ その極限の性質は何か？
• RQ3 非絶滅条件下で、適切な正規化を施した集団サイズ $ Z_n $ が分布収束して指数分布に近づくのはいつか？
• RQ4 モーメント条件を用いて、BPVEの臨界的・上臨界的・下臨界的領域を一様に特徴付ける方法は何か？
• RQ5 どのような正則性条件が、複数の成長率や漸近的退化といった特異的・非一般的な挙動を避けるか？

主な発見

• 変動環境下の分岐過程は、確実に $ \mathbb{N}_0 \cup \{\infty\} $ の極限に収束し、期待集団サイズ $ \mathbf{E}[Z_n] \to 0 $ であるときかつそのときに限り、確実に絶滅する。
• マルティンググール $ Z_n / \mathbf{E}[Z_n] $ が二階可積分であるための必要十分条件は、和 $ \sum_{k=1}^\infty \nu_k / \mu_{k-1} $ が有限であることである。ここで $ \nu_k $ は時間 $ k $ における子孫分布の正規化された2次階乗モーメントである。
• 臨界的領域では、$ \sum_{k=1}^n \nu_k / \mu_{k-1} \to \infty $ かつ $ 1/\mu_n = o(\sum_{k=1}^n \nu_k / \mu_{k-1}) $ が成り立つ。このとき、$ b_n = \frac{\mu_n}{2} \sum_{k=1}^n \frac{\nu_k}{\mu_{k-1}} $ とおくと、正規化された集団サイズ $ Z_n / b_n $ は、平均1の指数分布に分布収束する。
• 臨界的領域において、生存確率は $ \mathbf{P}(Z_n > 0) \sim \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n \frac{\nu_k}{\mu_{k-1}} $ を満たし、生存確率が子孫分布の累積分散と関連づけられる。
• 正則性条件（A）は、すべての標準的分布（ポアソン、二項、幾何分布など）を満たし、特異的でない一般の挙動を保証し、病理的現象を排除する。
• BPVEの臨界的・上臨界的・下臨界的領域への分類は、$ \mu_n $ と $ \sum_{k=1}^n \nu_k / \mu_{k-1} $ の挙動を通じて統一的に特徴付けられる。臨界的領域は、和の発散と $ \mu_n \to \infty $ によって特徴づけられ、下臨界的性質は $ \liminf_n \mu_n \sum_{k=1}^n \nu_k / \mu_{k-1} < \infty $ と同値である。