[論文レビュー] A unifying theory for multivariate polynomial interpolation on general Lissajous-Chebyshev nodes

Peter Dencker, Wolfgang Erb|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2017

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、一般のリサージュ＝チェビシェフノード集合における多次元多項式補間の統一的理論的枠組みを提示する。これは、パドゥア点、モロウ＝パターソン＝シューカー点、非退化リサージュ曲線を統合する。スペクトルインデックス集合と離散直交構造を導入することで、一意な補間を証明し、効率的な計算手法を導出。また、リーマン定数がテンソル積の場合と同様の漸近的成長を示すことを示している。

ABSTRACT

The goal of this article is to provide a general multivariate framework that synthesizes well-known non-tensorial polnomial interpolation schemes on the Padua points, the Morrow-Patterson-Xu points and the Lissajous node points into a single unified theory. The interpolation nodes of these schemes are special cases of the general Lissajous-Chebyshev points studied in this article. We will characterize these Lissajous-Chebyshev points in terms of Lissajous curves and Chebyshev varieties and derive a general discrete orthogonality structure related to these points. This discrete orthogonality is used as the key for the proof of the uniqueness of the polynomial interpolation and the derivation of a quadrature rule on these node sets. Finally, we give an efficient scheme to compute the polynomial interpolants.

研究の動機と目的

• 非テンソル積の多次元多項式補間スキーム（特にパドゥア点、モロウ＝パターソン＝シューカー点、リサージュ＝チェビシェフノード）を、一つの理論的枠組みに統合すること。
• リサージュ曲線とチェビシェフ多様体を用いてノードを特徴づけ、非テンソル積ノード集合の一般化を可能にする。
• これらのノード集合に離散直交構造を確立し、補間の一意性を保証するとともに、効率的な計算を可能にする。
• 離散直交構造を用いて、リサージュ＝チェビシェフノード集合上に積分則を導出すること。
• 補間多項式を計算する効率的なアルゴリズムを提供し、テンソル積設定で見られる計算効率を維持すること。

提案手法

• 一般のリサージュ＝チェビシェフノード集合 $\underline{\boldsymbol{\operatorname{LC}}}^{(\underline{\boldsymbol{m}})}_{\underline{\boldsymbol{\kappa}}}$ を、統一的な補間ノードのクラスとして導入する。
• リサージュ曲線とチェビシェフ多様体を用いてノードを特徴づけ、多次元直交構造と関連付ける。
• $\underline{\boldsymbol{m}}$ と $\underline{\boldsymbol{\kappa}}$ をもとにスペクトルインデックス集合を定義し、補間に必要な多項式空間を指定する。
• チェビシェフ多項式の性質とリサージュ曲線の対称性を用いて、ノード集合上に離散直交構造を確立する。
• 離散直交構造を用いて、定義された多項式空間内での補間関数の一意性を証明する。
• 直交構造を活用し、離散コサイン変換に類似した変換を用いて、補間関数の計算に効率的なアルゴリズムを開発する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パドゥア点やモロウ＝パターソン＝シューカー点といった非テンソル積の多次元補間スキームを、一つの理論的枠組みに統合できるか？
• RQ2 リサージュ曲線とチェビシェフ多様体の観点から、リサージュ＝チェビシェフノード集合がどのような幾何的・代数的性質を持つのか？
• RQ3 一般のリサージュ＝チェビシェフノード集合に、補間の一意性を保証する離散直交構造をどのように構築できるか？
• RQ4 これらのノード集合上での補間多項式の計算複雑度は何か？また、テンソル積の場合と同等の効率性を達成できるか？
• RQ5 これらの非テンソル積ノード集合上での補間におけるリーマン定数の漸近的挙動はいかなるものか？

主な発見

• スペクトルインデックス集合に基づく定義された多項式空間において、一般のリサージュ＝チェビシェフノード集合 $\underline{\boldsymbol{\operatorname{LC}}}^{(\underline{\boldsymbol{m}})}_{\underline{\boldsymbol{\kappa}}}$ 上の補間問題は、一意な解を持つ。
• ノード集合上に離散直交構造が確立され、これが補間の一意性の証明と積分則の導出の鍵となる。
• これらのノード集合上でのリーマン定数は、テンソル積の場合と同様の漸近的成長を示し、最適な数値的安定性を示している。
• 離散直交構造と離散コサイン変換に類似した構造を活用した、補間多項式を効率的に計算するアルゴリズムが導出された。
• 非退化リサージュ曲線の特定の条件下で、ノード集合のサイズは $\#Γ^{(\underline{\boldsymbol{m}})}_{\underline{\boldsymbol{\kappa}}} = \frac{1}{2^{\mathsf{d}-1}}\left(\operatorname{p}[\underline{\boldsymbol{m}}+\underline{\boldsymbol{1}}] - \prod_{\mathsf{i}\notin\{\mathsf{g},\mathsf{g}'\}}(n_{\mathsf{i}}+1)\right)$ で与えられる。
• 本理論により既知のスキームが統合された：パドゥア点は退化リサージュ曲線として得られ、モロウ＝パターソン＝シューカー点は一般枠組みの特別な場合として再現される。