[論文レビュー] Bivariate Lagrange interpolation at the node points of non-degenerate Lissajous curves

Wolfgang Erb, Christian Kaethner+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2014

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、非退化Lissajous曲線の節点を用いた2変数ラグランジュ補間枠組みを構築し、Padua点理論を一般化する。定義された多項式空間における一意な補間を確立し、補間多項式の効率的計算を可能にするラグランジュ基底多項式の明示的公式を導出する。また、Padua点およびXu点と同等の近似誤差とLebesgue定数の成長（O(log²n)）を示し、磁気粒子画像化（MPI）などの応用分野への適性を検証する。

ABSTRACT

Motivated by an application in Magnetic Particle Imaging, we study bivariate Lagrange interpolation at the node points of Lissajous curves. The resulting theory is a generalization of the polynomial interpolation theory developed for a node set known as Padua points. With appropriately defined polynomial spaces, we will show that the node points of non-degenerate Lissajous curves allow unique interpolation and can be used for quadrature rules in the bivariate setting. An explicit formula for the Lagrange polynomials allows to compute the interpolating polynomial with a simple algorithmic scheme. Compared to the already established schemes of the Padua and Xu points, the numerical results for the proposed scheme show similar approximation errors and a similar growth of the Lebesgue constant.

研究の動機と目的

• 磁気粒子画像化（MPI）への応用を念頭に、非退化Lissajous曲線の節点に対する2変数ラグランジュ補間理論の構築を目的とする。
• 退化した場合に限らないより広いクラスのLissajous曲線へ、Padua点補間枠組みを一般化することを目的とする。
• 明確に定義された多項式空間 Πⁿᵖᴸ における一意な補間を保証し、補間多項式を計算するための効率的なアルゴリズム的手順を導出することを目的とする。
• Lebesgue定数および近似誤差の挙動を分析し、新規手法を既存のPadua点およびXu点手法と比較することを目的とする。

提案手法

• 奇数のpおよびgcd(n, n+p) = 1を満たす非退化Lissajous曲線γₙ,ₚ(t) = (sin(nt), sin((n+p)t))の節点ポイントLisaₙ,ₚを特徴付ける。
• Lisaₙ,ₚの節点における一意な補間に適した2変数多項式空間Πⁿᵖᴸを定義する。
• 各節点a ∈ Lisaₙ,ₚにおける基本ラグランジュ多項式Lₐ(𝐱)の明示的閉形式公式を導出する。これにより、補間多項式の高速計算が可能となる。
• Lisaₙ,ₚの節点集合に基づき、積型チェビシェフ重み関数を用いた数値積分則を構築する。
• 明示的ラグランジュ基底公式を用いて、補間多項式の計算をPadua点法に類似したアルゴリズム的手順で実装する。
• 複数のテスト関数および次数において、補間誤差およびLebesgue定数について、Padua点およびXu点と比較する数値実験を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非退化Lissajous曲線の節点は、明確に定義された多項式空間において一意な2変数ラグランジュ補間を可能とするか？
• RQ2 提案された補間スキームは、Padua点およびXu点と同等のO(log²n)のLebesgue定数の成長率を示すか？
• RQ3 Lisaₙ,ₚ節点集合に対して、明示的かつ計算効率の良いラグランジュ基底多項式の公式を導出できるか？
• RQ4 標準的なテスト関数において、Lisaₙ,ₚ補間スキームの近似誤差はPadua点およびXu点と比較してどの程度か？
• RQ5 パラメータpが補間性能およびLebesgue定数の成長に与える影響は何か？

主な発見

• 非退化Lissajous曲線の節点ポイントLisaₙ,ₚは、多項式空間Πⁿᵖᴸにおいて一意な補間を可能とし、適切に定義された補間問題を保証する。
• ラグランジュ基底多項式Lₐ(𝐱)の明示的公式が導出され、Padua点法と類似した効率的なアルゴリズムによる補間多項式の計算が可能となる。
• Lisaₙ,ₚポイントのLebesgue定数Λⁿ,ₚᴸは、漸近的にO(log²n)の割合で成長し、Padua点およびXu点の手法と同等の成長率を示す。
• 数値実験の結果、すべてのテスト関数および次数において、Lisaₙ,ₚスキームの最大補間誤差は、Padua点およびXu点と同程度の大きさとトレンドを示す。
• パラメータpは補間誤差およびLebesgue定数の成長にほとんど影響を及ぼさないことが判明し、さまざまなLissajous曲線の設定においても安定性が確認された。
• 提案されたスキームは、既存の手法と同等の近似精度およびLebesgue定数の挙動を達成しており、磁気粒子画像化（MPI）を含む実用的応用分野への応用可能性が裏付けられた。