[論文レビュー] A vanishing Ext-branching theorem for $(\mathrm{GL}_{n+1}(F), \mathrm{GL}_n(F))$

Kei Yuen Chan, Gordan Savin|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2018

Advanced Algebra and Geometry参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、$F$ を $p$-進体とするとき、$ \mathrm{GL}_{n+1}(F)$ の一般表現を $ \mathrm{GL}_n(F)$ に制限した場合、正の次数における Ext-群が消えるという Dipendra Prasad の予想を証明する。著者らは、左および右 Bernstein-Zelevinsky 衍生の新しい理論を用いて、$ \mathrm{GL}_{n+1}(F)$ の本質的に平方可積分な表現が $ \mathrm{GL}_n(F)$-加群として射影的であることを確立し、一般性を仮定しないまま高次の Ext-群が消えることを示す。

ABSTRACT

We prove a conjecture of Dipendra Prasad on the Ext-branching problem from $\mathrm{GL}_{n+1}(F)$ to $\mathrm{GL}_n(F)$, where $F$ is a $p$-adic field.

研究の動機と目的

• $ \mathrm{Ext}^i_{\mathrm{GL}_n(F)}(\pi_1, \pi_2) = 0$ が $i > 0$ のとき、$ \pi_1$ と $ \pi_2$ がそれぞれ $ \mathrm{GL}_{n+1}(F)$ と $ \mathrm{GL}_n(F)$ の一般表現である場合に、Dipendra Prasad の予想を証明すること。
• $ \mathrm{GL}_{n+1}(F)$ の本質的に平方可積分な表現が $ \mathrm{GL}_n(F)$-加群として射影的であることを確立し、これにより一般性を仮定しないまま高次の Ext-群が消えることを示すこと。
• みらびック部分群およびその転置に関する左および右 Bernstein-Zelevinsky 衍生の理論を構築し、制限問題に対するより強い組合せ的制御を可能にすること。
• Bernstein-Zelevinsky 衍生に関して第二の随伴同型 $ (\pi^{(i)})^\vee \cong {}^{(i)}(\pi^\vee) $ を証明し、これにより導来圏における主要な双対性性質を確立すること。

提案手法

• 通常の右導来（$M_{n+1}$ に関するもの）に加えて、$M_{n+1}^\top$ に関する左導来を導入し、制限フィルトレーションに対するより強い制御を得る。
• Bernstein-Zelevinsky フィルトレーションを用いて、$ \mathrm{GL}_{n+1}(F)$ の滑らかな表現 $ \pi_1$ を $ \mathrm{GL}_n(F)$ に制限するとき、その最下位部分が Gelfand-Graev 表現であることを分析する。
• Gelfand-Graev 表現の射影性と Whittaker モデルの重複度 1 性質を活用し、一般表現に対して高次の Ext-群が消えることを導出する。
• 第二の随伴同型 $ (\pi^{(i)})^\vee \cong {}^{(i)}(\pi^\vee) $ を証明し、$K_r$-固定ベクトルによって生成される表現に対して成り立つことを示す。この証明には、先行研究における Hecke 代数の技法を用いる。
• 生成表現および Whittaker 機能の理論を適用し、$ \mathrm{Hom}_{G}({\rm ind}_U^G \psi_U, \pi) \neq 0$ ならば、$ \pi$ は非ゼロの Whittaker 機能を持つ必要があることを示し、表現論的データと調和解析的データを結びつける。
• $ \mathrm{ind}_{H_s}^G(\psi_s)_c$ が既約商を持つのは、$ \mathrm{Hom}_G(\sigma \otimes \mathrm{ind}_U^G \psi_U, \pi) \neq 0$ である場合に限ることを用い、Whittaker 維度が小さすぎる場合に矛盾を導出し、$ \pi$ の構造を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ \mathrm{Ext}^i_{\mathrm{GL}_n(F)}(\pi_1, \pi_2)$ は $i > 0$ のとき、$ \pi_1$ と $ \pi_2$ がそれぞれ $ \mathrm{GL}_{n+1}(F)$ と $ \mathrm{GL}_n(F)$ の一般表現である場合に消えるか？
• RQ2 本質的に平方可積分な $ \mathrm{GL}_{n+1}(F)$ の表現が $ \mathrm{GL}_n(F)$-加群として射影的であるための条件は何か？
• RQ3 $M_{n+1}^\top$ に関する左導来を含む Bernstein-Zelevinsky 衍生の理論を拡張できるか？また、それらは右導来とどのように作用するか？
• RQ4 表現とその双対の左および右導来を関連付ける第二の随伴同型が存在するか？また、$K_r$-固定ベクトルによって生成される表現に対しても成り立つか？
• RQ5 表現の Whittaker モデルの次元と、他の表現との Ext-群の次元との関係は何か？

主な発見

• Dipendra Prasad が提起した予想、すなわち $ \mathrm{Ext}^i_{\mathrm{GL}_n(F)}(\pi_1, \pi_2) = 0$（$i > 0$）が $ \pi_1$ と $ \pi_2$ がそれぞれ $ \mathrm{GL}_{n+1}(F)$ と $ \mathrm{GL}_n(F)$ の一般表現である場合に成り立つことは、真実であると証明された。
• $ \mathrm{GL}_n(F)$ の Gelfand-Graev 表現は $ \mathrm{GL}_n(F)$-加群として射影的であり、これにより任意の Whittaker 機能を持つ表現に対して高次の Ext-群が消えることが示される。
• $ \mathrm{GL}_{n+1}(F)$ のすべての本質的に平方可積分な表現は $ \mathrm{GL}_n(F)$-加群として射影的であり、このような表現同士はすべて $ \mathrm{GL}_n(F)$-加群として同型である。
• 第二の随伴同型 $ (\pi^{(i)})^\vee \cong {}^{(i)}(\pi^\vee) $ は、$K_r$-固定ベクトルによって生成される表現 $ \pi$ に対して成り立つ。これは証明における重要な技術的道具である。
• $ \mathrm{GL}_{n+1}(F)$ の一般表現 $ \pi_1$ を $ \mathrm{GL}_n(F)$ に制限すると、Bernstein-Zelevinsky フィルトレーションを備え、その最下位部分が Gelfand-Graev 表現である。高次の Ext-群の消えることは、この部分の射影性から導かれる。
• 証明により、$ \pi_1$ が本質的に平方可積分であれば、すべての $i > 0$ およびすべての $ \pi_2$ に対して $ \mathrm{Ext}^i_{\mathrm{GL}_n(F)}(\pi_1, \pi_2) = 0$ が成り立つことが示され、$ \pi_2$ が退化していても成り立つ。これは、$ \pi_1$ が $ \mathrm{GL}_n(F)$-加群として射影的であるためである。