[論文レビュー] A Variant of the Maximum Weight Independent Set Problem

Sayan Bandyapadhyay|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2014

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 33被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、各頂点に重みと予算が割り当てられ、合計予算制約の下で最大重み独立集合を求める問題である、古典的な最大重み独立集合（MWIS）問題の一般化である最大重み予算付き独立集合（MWBIS）問題を導入する。著者らは、木、森林、サイクル、区間グラフに対して正確なアルゴリズムを提示し、$d+1$-クモ型自由グラフに対して比 $d$ の近似アルゴリズムを提示し、バーカーの技法の拡張を用いて平面グラフに対してPTASを構築する。

ABSTRACT

We study a natural extension of the Maximum Weight Independent Set Problem (MWIS), one of the most studied optimization problems in Graph algorithms. We are given a graph $G=(V,E)$, a weight function $w: V ightarrow \mathbb{R^+}$, a budget function $b: V ightarrow \mathbb{Z^+}$, and a positive integer $B$. The weight (resp. budget) of a subset of vertices is the sum of weights (resp. budgets) of the vertices in the subset. A $k$-budgeted independent set in $G$ is a subset of vertices, such that no pair of vertices in that subset are adjacent, and the budget of the subset is at most $k$. The goal is to find a $B$-budgeted independent set in $G$ such that its weight is maximum among all the $B$-budgeted independent sets in $G$. We refer to this problem as MWBIS. Being a generalization of MWIS, MWBIS also has several applications in Scheduling, Wireless networks and so on. Due to the hardness results implied from MWIS, we study the MWBIS problem in several special classes of graphs. We design exact algorithms for trees, forests, cycle graphs, and interval graphs. In unweighted case we design an approximation algorithm for $d+1$-claw free graphs whose approximation ratio ($d$) is competitive with the approximation ratio ($\frac{d}{2}$) of MWIS (unweighted). Furthermore, we extend Baker's technique \cite{Baker83} to get a PTAS for MWBIS in planar graphs.

研究の動機と目的

• NP困難な最大重み独立集合（MWIS）問題の自然な一般化を、頂点固有の予算とグローバルな予算制約を導入することで検討すること。
• 特に木、区間グラフ、平面グラフを含む特殊グラフクラスにおけるMWBISのための効率的アルゴリズムを設計すること。
• バーカーの技法や動的計画法といった既知の手法を、MWBISにおける予算制約を扱えるように拡張すること。
• 特に$d+1$-クモ型自由グラフおよび幾何的グラフにおいて、MWBISの近似可能性を分析すること。
• MWBSIとスケジューリングや無線ネットワークにおける実用的応用との関係を確立すること。

提案手法

• 区間グラフに対して、2次元テーブル$M(j,t)$を用いた動的計画法を提案。このテーブルは、最初の$j$個の区間のうち、予算$t$を割り当てた場合の最大重み独立集合を、重みと包含フラグを追跡して格納する。
• 各区間$I_j$について、予算が許容される場合の包含と除外の2通りのケースを計算し、重複を避けるために事前に計算された直前ノード（先行者）を用いる。
• DPテーブルにおける効率的な再帰を可能にするために、$l_j$（$l < j$ かつ $I_l$ と $I_j$ が交差しない最大のインデックス）を事前計算する前処理ステップを導入。
• バーカーの技法を応用し、グラフを層に分解して各層で部分問題を解くことで、平面グラフにおけるMWBSIの多項式時間近似スキーム（PTAS）を設計。
• 標準的なMWIS用の動的計画法フレームワークを予算制約を組み込むように変更し、状態を重みと予算使用量の両方で保持。
• KNAPSACK問題への還元を用いて、星型木においてもMWBSIがNP困難であることを証明し、一般における計算困難性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最大重み独立集合問題に、頂点固有の予算とグローバルな予算制約を組み込むことで、意味のある一般化が可能か？
• RQ2 区間グラフ、木、平面グラフなどの特殊グラフクラスにおけるMWBISのための正確なアルゴリズムを設計可能か？
• RQ3 $d+1$-クモ型自由グラフにおいて、未重み版（MBIS）に対して定数倍近似が達成可能か？また、既知のMWISの$\frac{d}{2}$-近似と比較するとどうなるか？
• RQ4 バーカーの技法を拡張することで、平面グラフにおけるMWBISのためのPTASを構築可能か？（MWISでは同様に可能であるが。）
• RQ5 MWBISの多項式時間解法における計算限界は何か？特に、非自明なグラフクラスにおいて$O(n^c)$時間のアルゴリズムが存在するか？

主な発見

• 区間グラフにおけるMWBISに対して、2次元テーブルと先行者事前計算を用いた動的計画法により、$O(n(n+B))$時間の正確なアルゴリズムを設計。
• $d+1$-クモ型自由グラフにおける未重み版MWBIS（MBIS）に対して、$d$-近似アルゴリズムを構築。これは、同類のグラフにおける未重みMWISの既知の最良近似比と一致する。
• バーカーの技法を予算制約を扱えるように拡張することで、平面グラフにおけるMWBISに対して多項式時間近似スキーム（PTAS）を達成。
• KNAPSACK問題への還元を用いて、星型木においてもMWBISがNP困難であることを証明。一般における強い非効率性を示す。
• 未解決問題として、非自明なグラフクラスにおける$O(n^c)$時間アルゴリズムの存在、および動的計画法のアプローチを有界木幅グラフに拡張可能かを同定。