[論文レビュー] A QPTAS for maximum weight independent set of polygons with polylogarithmically many vertices

Anna Adamaszek, Andreas Wiese|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2014

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 26被引用数 28

ひとこと要約

本稿は、各多角形の頂点数が多対数的である場合の最大重み独立多角形集合（MWISP）問題に対する準多項式時間近似スキーム（QPTAS）を提示する。幾何的近似枠組みを拡張し、問題を三角形に還元するとともに、任意の多角形の角度に対応できる新規な平面分割手法を導入することで、時間 2^{poly(log n, 1/ε)} において (1 + ε)-近似が達成される。

ABSTRACT

The Maximum Weight Independent Set of Polygons (MWISP) problem is a fundamental problem in computational geometry. Given a set of weighted polygons in the two-dimensional plane, the goal is to find a set of pairwise non-overlapping polygons with maximum total weight. Due to its wide range of applications and connections to other problems, the MWISP problem and its special cases have been extensively studied both in the approximation algorithms and the computational geometry community. Despite a lot of research, its general case is not well-understood yet. Currently the best known polynomial time algorithm achieves an approximation ratio of ne, and it is not even clear whether the problem is APX-hard. We present a (1 + e)-approximation algorithm, assuming that each polygon in the input has at most a polylogarithmic number of vertices. Our algorithm has quasi-polynomial running time, i.e., it runs in time 2poly(log n, 1/e). In particular, our result implies that for this setting the problem is not APX-hard, unless NP ⊆ DTIME(2poly(log n)).We use a recently introduced framework for approximating maximum weight independent set in geometric intersection graphs. The framework has been used to construct a QPTAS in the much simpler case of axis-parallel rectangles. We extend it in two ways, to adapt it to our much more general setting. First, we show that its technical core can be reduced to the case when all input polygons are triangles. Secondly, we replace its key technical ingredient which is a method to partition the plane using only few edges such that the objects stemming from the optimal solution are evenly distributed among the resulting faces and each object is intersected only a few times. Our new procedure for this task is no more complicated than the original one and, importantly, it can handle the difficulties arising from the arbitrary angles of the input polygons. Note that already this obstacle makes the known analysis for the above framework fail. Also, in general it is not well understood how to handle this difficulty by efficient approximation algorithms.

研究の動機と目的

• 各多角形の頂点数が多対数的であるという制約下で、最大重み独立多角形集合（MWISP）問題に対する効率的な近似アルゴリズムを開発すること。
• 従来、軸に平行な長方形にのみ有効であった幾何的近似枠組みを、任意の形状・任意の角度を持つ多角形に対応させる。
• 従来の解析および分割手法が無効となる非一様な多角形の向きの問題に直面する課題を克服すること。
• 頂点数が有界なMWISPが、NP ⊆ DTIME(2^{poly(log n)}) でない限りAPX-hardでないことを示し、強い近似不能性の境界を示すこと。
• 最適解の多角形が面に均等に分散するようにしながら、エッジの交差数を最小限に抑える平面分割手順を設計すること、特に複雑な角度に対しても有効であるようにすること。

提案手法

• 近似保証を保持したまま、一般のMWISP問題をすべての入力多角形が三角形である特殊ケースに還元する。
• 新しい幾何的分解法を導入することで、元の枠組みのコアとなる平面分割技術を、任意の角度を持つ多角形に対応可能にする。
• 最適解に属する各多角形が高々定数個の面としか交差しないように、少ないエッジ数で平面の分割を構築する。
• 非直角な多角形の追加的複雑性にもかかわらず、元の枠組みの効率性および近似特性を維持する新しい分割法を確立する。
• 得られた分割された面に対して動的計画法を適用し、準多項式時間 2^{poly(log n, 1/ε)} 内で (1 + ε)-近似解を計算する。
• 新しい分割手順が、任意の角度を持つ多角形に適用された場合に、従来の手法が失敗する状況を回避することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 幾何的独立集合問題のQPTAS枠組みは、軸に平行な長方形を越えて、頂点数が有界な任意の多角形へ拡張可能か？
• RQ2 入力多角形が任意の角度と非長方形の形状を持つ場合、近似保証を維持するために必要な変更は何か？
• RQ3 多対数的頂点数を持つMWISP問題はAPX-hardか、それとも妥当な複雑性仮定の下でQPTASを有するか？
• RQ4 任意の多角形に対して、交差数が少なく、かつ最適解のオブジェクトが面に均等に分散するような平面分割法を設計可能か？
• RQ5 任意の多角形の角度を扱う際の複雑性が、既存の幾何的近似枠組みの解析および効率性にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 本稿は、多対数的頂点数を持つMWISP問題に対して、時間 2^{poly(log n, 1/ε)} で動作する (1 + ε)-近似アルゴリズムを提示する。
• アルゴリズムは一般のMWISP問題を三角形のケースに還元することで、特化した幾何的技法の適用を可能にする。
• 任意の多角形の角度に対応する新規な平面分割手法を導入し、最適多角形が高々 O(1) 個の面としか交差しないことを保証する。
• フレームワークの核心的技術的要素を、非長方形の多角形に対しても近似品質を損なわず適用可能にする。
• この結果は、頂点数が有界なMWISPが、NP ⊆ DTIME(2^{poly(log n)}) でない限りAPX-hardではないことを示唆し、強い複雑性理論的含意を持つ。
• 解析は、任意の向きを持つ多角形に適用された場合に従来手法が無効になる障害要因を効果的に克服した。