[論文レビュー] A variational approach to complex Monge-Ampere equations

Robert J. Berman, Sébastien Boucksom+2 more|ArXiv.org|Jul 27, 2009

Geometry and complex manifolds参考文献 25被引用数 23

ひとこと要約

本稿は、コンpakto Kahler多様体上のビッグコhomology類における退化複素Monge-Ampère方程式を、Yauの定理に依存せずに解くための変分法を提示する。最小化によって一意解が得られる複素多重エネルギー汎関数を確立し、特異Kahler-Einstein計量に関する結果を拡張し、k-バランスド計量がk→∞の極限で標準計量に収束することを証明する。

ABSTRACT

We show that degenerate complex Monge-Ampere equations in a big cohomology class of a compact Kaehler manifold can be solved using a variational method independent of Yau's theorem. Our formulation yields in particular a natural pluricomplex analogue of the classical logarithmic energy of a measure. We also investigate Kaehler-Einstein equations on Fano manifolds. Using continuous geodesics in the closure of the space of Kaehler metrics and Berndtsson's positivity of direct images we extend Ding-Tian's variational characterization and Bando-Mabuchi's uniqueness result to singular Kaehler-Einstein metrics. Finally using our variational characterization we prove the existence, uniqueness and convergence of k-balanced metrics in the sense of Donaldson both in the (anti)canonical case and with respect to a measure of finite pluricomplex energy in our sense.

研究の動機と目的

• Yauの連続的メソッドに依存しない、退化複素Monge-Ampère方程式を直接的に解くための変分法の構築。
• 古典的対数的エネルギーを複素幾何に拡張する、複素多重エネルギー汎関数の最小化による解の特徴付け。
• 連続的測地線とBerndtssonの正則性定理を用いて、特異Kahler-Einstein計量の存在と一意性の確立。
• k→∞における(k-バランスド計量)が、(反)canonicalおよび一般測度の場合に標準計量に収束することの証明。

提案手法

• AubinのJ汎関数の一般化として、ω-psh関数の積分を用いて複素多重エネルギー汎関数E(φ)を形式化する。
• T = ω + ddᶜφ であるような測度Tに対して、J(T) = ∫φ ωⁿ − E(φ) を定義し、完全Monge-Ampère質量を特徴付ける。
• 測度の作用を表すLを用いて、F = E − L としてMonge-Ampère方程式の変分的特徴付けを実現する。
• Kahler計量空間の閉包における連続的測地線を用いて、Ding-Tianの変分原理を特異計量に拡張する。
• Bouche-Catlin-Tian-Zelditchの定理を用いて、離散的エネルギー汎関数Dₖと連続的エネルギーEとの関係をk→∞の極限で関係づける。
• 一様推定を用いて、すべての十分に大きなkに対してFₖ = Dₖ − L∘fₖのJₖ-強制性を確立し、最大化解の存在と収束を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ビッグコhomology類における退化複素Monge-Ampère方程式は、Yauの定理に依存しない直接的変分法によって解けるか？
• RQ2 Monge-Ampère方程式の解を特徴付ける自然な複素多重エネルギーの対数的エネルギーの類似は存在するか？
• RQ3 測地線法を用いて、Kahler-Einstein計量の変分的特徴付けを特異計量に拡張できるか？
• RQ4 k-バランスド計量はk→∞で標準計量に収束するか？ もしそうならば、どのような条件下で？

主な発見

• 変分法により、Yauの連続的メソッドを用いずに、ビッグコhomology類における退化複素Monge-Ampère方程式の解の存在と一意性が新たな直接的証明で得られる。
• Monge-Ampère方程式の解は、有限エネルギークラスE¹(A)上での汎関数F = E − Lの唯一の最大化解として特徴付けられる。
• k-バランスド計量φₖは、k→∞において、測度の意味で標準計量Tに収束し、ddᶜφₖが弱位相でTに収束する。
• すべての十分に大きなkに対して、離散的汎関数FₖのJₖ-強制性が一様に確立され、最大化解の存在と安定性が保証される。
• 離散的エネルギー汎関数Dₖの極限は連続的エネルギーEに収束し、L(Pₖ(ψ)) → L(ψ)（C∞関数ψに対して）が成り立ち、極限における一貫性が保証される。
• 収束の証明は、JₖとJ∘fₖを関連付ける重要な推定式(7.8)に依存しており、離散近似の誤差を制御する。