[論文レビュー] A variational representation and large deviations for functionals of G-Brownian motion

Fuqing Gao|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$G$-ブラウン運動の汎関数に対する変分表現を、$G$-期待値下での有限次元近似技術を用いて確立する。これは、クラーク・オクソンの公式のような古典的手法の限界を克服するものである。応用として、$G$-ブラウン運動によって駆動される確率的フローのための大偏差原理を証明し、ボエ＝デュプイの変分表現の新規な証明を提供するとともに、非線形期待値への大偏差理論の拡張を実現する。

ABSTRACT

A variational representation for functionals of G-Brownian motion is established by a finite-dimensional approximate technique. As an application of the variational representation, we obtain a large deviation principle for stochastic flows driven by G-Brownian motion.

研究の動機と目的

• サブ線形な$G$-期待値フレームワーク下で、$G$-ブラウン運動の汎関数のための変分表現を開発すること。
• $G$-確率的微積分における古典的手法（例：クラーク・オクソンの公式や可測選択）の不適応性を克服すること。
• $G$-ブラウン運動によって駆動される確率的フローのための大偏差原理を確立すること。
• 古典的なボエ＝デュプイの変分表現を、$G$-フレームワーク技術を用いて新規に証明すること。

提案手法

• $G$-期待値の複雑さを扱うために、有限次元近似技術を開発し、$G$-ストラスコフ微分方程式の系列による汎関数の近似を可能にする。
• 大偏差原理における下界の証明に、$G$-ギルサノフ変換を用いる。
• グロンウォールの補題を用いて、有限次元近似スキームにおける近似過程の一様収束を確立する。
• $G$-期待値下での修正されたコルモゴロフ基準を用いて、確率過程の族のtightnessを証明する。
• 有界近似と擬連続性を用いて、$\mathbb{E}^G$下での分布収束を扱う。
• 適応制御$\eta \in (M^2(0,T))^d$に関する上界として、二次制御項$H_T^G(\eta)$を用いた変分表現を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クラーク・オクソンの公式や可測選択が利用できない状況下で、$G$-ブラウン運動の汎関数に対する変分表現を確立できるか？
• RQ2 モデルの不確実性下で、$G$-ブラウン運動によって駆動される確率的フローの大偏差をどのように導出できるか？
• RQ3 $G$-期待値下での有限次元近似技術が、古典的なボエ＝デュプイの変分表現の新規な証明を提供できるか？
• RQ4 $\mathbb{E}^G$下で、$G$-確率過程のtightnessと一様収束を保証する条件は何か？

主な発見

• $\mathbb{E}^G(e^{\Phi(B)}) = \exp\left\{\sup_{\eta \in (M^2(0,T))^d} \mathbb{E}^G\left(\Phi(B^\eta) - H_T^G(\eta)\right)\right\}$ として変分表現が確立された。ここで $B^\eta_t = B_t + \int_0^t \eta_s d\langle B\rangle_s$ である。
• 有限次元近似技術により、$G$-SDEの近似を通じて、大偏差原理における上界が正当化された。
• 下界は$G$-ギルサノフ変換と有界近似を用いて証明され、大偏差原理の有効性が保証された。
• $G$-期待値下でのコルモゴロフ基準の$G$-期待値版を用いて、過程族 $\{Y_{\lambda,\epsilon}\}$ のtightnessが確立された。
• $\mathbb{E}^G$下で一様分布収束が達成され、$\lim_{\epsilon \to 0} \sup_{\lambda} \mathbb{E}^G(|\Phi(Y_{\lambda,\epsilon}) - \Phi(Y_\lambda)|) = 0$ が成り立った。
• 結果として、古典的なボエ＝デュプイの変分表現の新規な証明が得られ、その有効性が$G$-フレームワークへと拡張された。