[論文レビュー] Wellposedness of Second Order Backward SDEs

H. Meté Soner, Nizar Touzi+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2010

Stochastic processes and financial applications参考文献 15被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、非支配的で互いに特異な確率測度の族を介して、古典的BSDEを完全非線形PDEへ拡張することにより、2階後向きSDE（2BSDE）の完全な存在および一意性理論を確立する。主な貢献は、完全非線形Feynman-Kac公式と最適制御解釈に基づく確率的表現であり、適切な条件下でマルコフ型2BSDEの解が完全非線形PDEの連続的解（viscosity solution）であることを証明する。

ABSTRACT

We provide an existence and uniqueness theory for an extension of backward SDEs to the second order. While standard Backward SDEs are naturally connected to semilinear PDEs, our second order extension is connected to fully nonlinear PDEs, as suggested by Cheridito et.al. In particular, we provide a fully nonlinear extension of the Feynman-Kac formula. Unlike the earlier papers, the alternative formulation of this paper insists that the equation must hold under a non-dominated family of mutually singular probability measures. The key argument is a stochastic representation, suggested by the optimal control interpretation, and analyzed in our accompanying paper

研究の動機と目的

• 完全非線形PDEの枠組みにおける2階後向きSDE（2BSDE）の未解決の存在問題を解消すること。
• 2階SDEの枠組みを通じて、古典的Feynman-Kac公式を完全非線形PDEへ拡張すること。
• 最適制御解釈と非支配的確率測度を用いた2BSDE解の確率的表現を確立すること。
• 適切な条件下でマルコフ型2BSDEの解が完全非線形PDEの連続的解に対応することを証明すること。
• 適切なノルムにおける有界で一様連続関数の閉包を定義し、滑らかでない終値条件への解理論の拡張を可能とすること。

提案手法

• 非支配的で互いに特異な確率測度の族の下で、方程式がほとんど確実に成り立つような2BSDEの新しい定式化を導入する。
• PengのG確率的微積分とDenisおよびMartiniの準確実的解析にインspiredされた最適制御理論から導かれる確率的表現を用いる。
• 有界で一様連続関数の閉包を特定のノルムの下で定義した解空間を導入し、より滑らかでない終値条件への拡張を可能とする。
• マルティンゲール表現と確率的指数を用いたGirsanov型変換を適用し、事前推定を導出する。
• 局所化と伊藤の補題を用いて、解過程の事前境界を導出し、可積分性と安定性を保証する。
• 有界で一様連続な終値データを持つ2BSDEの列の極限として解を構成し、近似による存在性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Cheriditoら（2007）の結果を超えて、2階後向きSDEの適切な定式化理論を構築することは可能か？
• RQ2 2BSDEと完全非線形PDEとの間の関係を、古典的Feynman-Kac公式を一般化する形で形式化することは可能か？
• RQ3 非支配的で互いに特異な測度の族が、解の一意性とロバストネスを保証するために果たす役割は何か？
• RQ4 マルコフ型2BSDEの解は、完全非線形PDEの連続的解として特徴付けられるか？
• RQ5 有界で一様連続な終値条件から、より広いクラスの確率変数へ解理論を拡張することは可能か？

主な発見

• 本稿では、非支配的で互いに特異な確率測度の族の下で、2階後向きSDEの解の存在および一意性が確立される。
• 完全非線形PDEへのFeynman-Kac公式の拡張が証明され、2BSDEが完全非線形PDEの連続的解と関連づけられる。
• 適切な正則性および有界性条件の下で、マルコフ型2BSDEの解が対応する完全非線形PDEの連続的解であることが示される。
• 解空間は、適切なノルムの下での有界で一様連続関数の閉包として定義され、より滑らかでない終値データへの拡張が可能になる。
• 伊藤の補題と確率的指数変換を用いて、解過程の有界性と可積分性を保証する事前推定が導出される。
• 有界で一様連続な終値条件を持つ近似列の極限として解が構成され、一般化された解空間における存在性が証明される。