[論文レビュー] A Vertex-Weighted Tutte Symmetric Function, and Constructing Graphs with Equal Chromatic Symmetric Function

Logan Crew, Sophie Spirkl|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2020

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 41被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、彩色対称関数を一般化し、削除・縮約関係を満たす頂点重み付きTutte対称関数XBを導入する。スパニングツリーおよびスパニングフォレストの展開が得られ、非同型なグラフが同一の彩色対称関数を持つような新しい構成が提示され、Tutte対称関数では区別できない最初の例が得られる。

ABSTRACT

This paper has two main parts. First, we consider the Tutte symmetric function $XB$, a generalization of the chromatic symmetric function. We introduce a vertex-weighted version of $XB$ and show that this function admits a deletion-contraction relation. We also demonstrate that the vertex-weighted $XB$ admits spanning-tree and spanning-forest expansions generalizing those of the Tutte polynomial by connecting $XB$ to other graph functions. Second, we give several new methods for constructing nonisomorphic graphs with equal chromatic symmetric function, and provide the first examples of nonisomorphic graphs that are not distinguished by the Tutte symmetric function.

研究の動機と目的

• 彩色対称関数を頂点重み付きTutte対称関数XBにより一般化し、その代数的および組合せ的性質を拡張する。
• 頂点重み付きXBに対して削除・縮約関係を確立し、再帰的計算およびより深い構造的解析を可能にする。
• XBのスパニングツリーおよびスパニングフォレストの展開を導出し、古典的Tutte多項式の恒等式を一般化する。
• 非同型なグラフが同一の彩色対称関数を持つような新しい組合せ的技法を開発する。
• Tutte対称関数では区別できない非同型のグラフの最初の明示的例を提供する。

提案手法

• 標準Tutte対称関数に頂点重みを追加することで、頂点重み付きTutte対称関数XBを定義する。
• 頂点重み付きグラフの分解を用いて、Tutte多項式に類似した削除・縮約関係がXBに成り立つことを証明する。
• 重み付きグラフ不変量および母関数を活用することで、XBのスパニングツリーおよびスパニングフォレストの展開を導出する。
• 対称性および重み割り当てを用いて、等しい彩色対称関数を持つ非同型グラフの新しい族を構成する。
• XBの構造を活用して、非同型であるにもかかわらずTutte対称関数では区別できないグラフのペアを同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Tutte対称関数を頂点重みを組み込む形で一般化することは可能か？ その際、重要な代数的性質を保ち続けられるか？
• RQ2 頂点重み付きTutte対称関数に対して成り立つ削除・縮約恒等式は何か？
• RQ3 XBに対してスパニングツリーおよびスパニングフォレストの展開を一般化できるか？ また、既知のグラフ多項式とどのように関係するか？
• RQ4 どのような新しい組合せ的構成が、非同型なグラフが同一の彩色対称関数を持つようにするか？
• RQ5 Tutte対称関数では区別できない非同型のグラフは存在するか？ もし存在するならば、どのように構成できるか？

主な発見

• 頂点重み付きTutte対称関数XBは削除・縮約関係を満たし、再帰的評価および構造的解析を可能にする。
• XBは、古典的Tutte多項式の恒等式を一般化するスパニングツリーおよびスパニングフォレストの展開を有する。
• 本論文は、同じ彩色対称関数を持つ非同型グラフの新しい族を構成し、既知の構成技法を拡張する。
• Tutte対称関数では区別できない非同型グラフの最初の明示的例を提供する。
• 頂点重み付きXB関数は、重み付きグラフ分解を通じて、彩色対称関数、Tutte多項式、およびグラフ不変量を統合するフレームワークを提供する。