[論文レビュー] A volume conjecture for a family of Turaev-Viro type invariants of $3$-manifolds with boundary

Qingtao Chen, Tian Yang|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2015

Geometric and Algebraic Topology参考文献 38被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、境界を持つ3次元多様体のTuraev-Viro型不変量について、体積予想を提案する。$\exp(2\pi i / r)$ における評価において、これらの不変量は $r$ が大きくなるにつれ、多様体の双曲的体積に等しい指数的成長率を示す。さらに、閉じた双曲的3次元多様体に対しては、Turaev-Viro不変量とReshetikhin-Turaev-Lickorish不変量が、それぞれ双曲的体積および複素体積に等しい指数的成長率を示すと予想し、Wittenの予想とは異なる漸近的挙動を示す。

ABSTRACT

We consider a family of Turaev-Viro type invariants for a $3$-manifold $M$ with non-empty boundary, indexed by an integer $r\geqslant3,$ and propose a volume conjecture for hyperbolic $M$ that these invariants grow exponentially at large $r$ with a growth rate the hyperbolic volume of $M.$ The crucial step is the evaluation at the root of unity $\exp({2\pi\sqrt{-1}}/{r})$ instead of that at the usually considered root $\exp({\pi\sqrt{-1}}/{r}).$ Evaluating at the same root $\exp({2\pi\sqrt{-1}}/{r}),$ we then conjecture that, the Turaev-Viro invariants and the Reshetikhin-Turaev-Lickorish invariants of a closed hyperbolic $3$-manifold $M$ grow exponentially with growth rates respectively the hyperbolic and the complex volume of $M.$ This uncovers a different asymptotic behavior of the values at other roots of unity than that at $\exp({\pi\sqrt{-1}}/{r})$ predicted by Witten's Asymptotic Expansion Conjecture, which may indicate some different geometric interpretation of the Reshetikhin-Turaev invariants than the $SU(2)$ Chern-Simons theory. Numerical evidences are provided to support these conjectures.

研究の動機と目的

• 境界付き3次元多様体に対するTuraev-Viro不変量の体積予想を拡張すること。
• 標準的な $\exp(\pi i / r)$ の場合とは異なる、$\exp(2\pi i / r)$ におけるこれらの不変量の漸近的挙動を調査すること。
• 閉じた双曲的3次元多様体におけるTuraev-Viro不変量およびReshetikhin-Turaev-Lickorish不変量の成長率が、それぞれ双曲的体積および複素体積に等しいかどうかを検討すること。
• Wittenの漸近展開予想の予測とは対照的に、Reshetikhin-Turaev不変量の幾何的解釈が異なる可能性を示唆すること。

提案手法

• 整数 $r \geq 3$ をインデックスとする、境界付き3次元多様体のTuraev-Viro型不変量の族を定義する。
• $\exp(2\pi i / r)$ における不変量の評価を行い、従来の $\exp(\pi i / r)$ とは異なる漸近的挙動を調べる。
• 双曲的 $M$ に対して、$\exp(2\pi i / r)$ におけるこれらの不変量の指数的成長率が、多様体の双曲的体積に一致すると予想する。
• 閉じた双曲的3次元多様体にこの予想を拡張し、Turaev-Viro不変量は双曲的体積に等しい成長率を示し、Reshetikhin-Turaev-Lickorish不変量は複素体積に等しい成長率を示すと予想する。
• 特に境界付き双曲的3次元多様体および閉じた双曲的3次元多様体に対して、数値的証拠を用いて予想を支持する。
• $\exp(2\pi i / r)$ における漸近的挙動をWittenの漸近展開予想と比較し、Reshetikhin-Turaev不変量の異なる幾何的解釈を示唆する乖離を強調する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界付き双曲的3次元多様体のTuraev-Viro不変量は、$r \to \infty$ のとき $\exp(2\pi i / r)$ で評価された際に、その双曲的体積に等しい指数的成長率を示すか？
• RQ2 閉じた双曲的3次元多様体におけるTuraev-Viro不変量およびReshetikhin-Turaev-Lickorish不変量は、$\exp(2\pi i / r)$ で評価された際に、それぞれ双曲的体積および複素体積に等しい指数的成長率を示すか？
• RQ3 $\exp(2\pi i / r)$ におけるこれらの不変量の漸近的挙動は、Wittenの漸近展開予想が予測するものとどのように異なるか？
• RQ4 $\exp(2\pi i / r)$ における観察された異なる漸近的成長の背後にある幾何的または位相的解釈は何か？
• RQ5 数値的計算は、境界付きおよび閉じた場合の提案された体積予想に対して信頼できる証拠を提供できるか？

主な発見

• 境界付き双曲的3次元多様体のTuraev-Viro不変量は、$r \to \infty$ のとき $\exp(2\pi i / r)$ で評価された際に、双曲的体積に等しい指数的成長率を示すと予想される。
• 閉じた双曲的3次元多様体に対しては、Turaev-Viro不変量は双曲的体積に等しい指数的成長率を示すと予想される。
• 閉じた双曲的3次元多様体のReshetikhin-Turaev-Lickorish不変量は、複素体積に等しい指数的成長率を示すと予想される。
• $\exp(2\pi i / r)$ における漸近的挙動は、Wittenの漸近展開予想が予測するものと顕著に異なり、Reshetikhin-Turaev不変量の異なる幾何的解釈を示唆する。
• 数値的証拠は、境界付きおよび閉じた双曲的3次元多様体の両方における提案された体積予想を支持する。
• $\exp(2\pi i / r)$ における評価は、$SU(2)$ チャン＝サイモンズ理論とは異なる量子場理論的解釈に対応する可能性がある、新たな漸近的領域を明らかにする。