[論文レビュー] A weak Galerkin finite element method for Burgers' equation

Yanli Chen, Tie Zhang|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2016

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、1次元のバーガース方程式を解くために、新たな弱変分形式を用いた弱ガレルキン（WG）有限要素法を提案する。本手法は、半離散および完全離散スキームを確立し、多項式次数 $k$ に対して離散 $H^1$-ノルムおよび $L^2$-ノルムにおける最適収束率 $k+1$ を証明した。数値実験により、正確な解と収束解析による検証が行われた。

ABSTRACT

We propose a weak Galerkin(WG) finite element method for solving the one-dimensional Burgers' equation. Based on a new weak variational form, both semi-discrete and fully-discrete WG finite element schemes are established and analyzed. We prove the existence of the discrete solution and derive the optimal order error estimates in the discrete $H^1$-norm and $L^2$-norm, respectively. Numerical experiments are presented to illustrate our theoretical analysis.

研究の動機と目的

• ナヴィエ＝ストークス方程式の簡易モデルであるバーガース方程式を安定かつ高精度に解く数値スキームの開発を目的とする。
• 特に高レイノルズ数（ほぼ双曲型）な領域におけるバーガース方程式の解法の課題に取り組むことを目的とする。
• 正定値性を保証する新たな弱変分形式を備えた弱ガレルキン有限要素法を確立することを目的とする。
• 半離散および完全離散スキームにおける離散 $H^1$-ノルムおよび $L^2$-ノルムにおける最適誤差推定を導出することを目的とする。
• 正確な解と収束解析による数値実験を通じて、理論的結果の妥当性を検証することを目的とする。

提案手法

• 部分積分と非線形対流項の対称化により、新たな弱変分形式を導出し、正定値な双一次形式を実現する。
• 多項式次数 $k$ の直交多項式を用いて、局所的な有限要素空間における離散弱微分を定義し、局所的保存性と安定性を確保する。
• 半離散WGスキームは、$H^1$-適合有限要素空間を用い、弱関数 $v = \{v^0, v^a, v^b\}$ で定式化される。ここで $v^0$ は内部値、$v^a, v^b$ は要素境界における値を表す。
• 完全離散スキームは、後退オイラー時間離散化を用い、各時間ステップで線形方程式系が得られる。
• 離散弱微分は、安定性および誤差解析に不可欠な離散部分積分恒等式を満たす。
• 射影に基づく解析と弱ガレルキン空間の近似性質を用いて、誤差推定を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱ガレルキン有限要素法は、1次元バーガース方程式に最適収束率を有する形で効果的に適用可能か？
• RQ2 提案された弱変分形式は、双一次形式の正定値性を保証するか？これにより安定な数値解が得られるか？
• RQ3 多項式次数 $k$ が異なる場合の、$H^1$-ノルムおよび $L^2$-ノルムにおけるWG有限要素法の収束挙動はいかなるものか？
• RQ4 粘性係数 $\nu$ を変化させ、メッシュの細分化を施した場合、数値解と正確な解の比較はどのようになるか？
• RQ5 粘性が非常に小さい極限、すなわち双曲型領域に近い状況でも、本手法は高い精度を維持できるか？

主な発見

• 提案されたWG有限要素法は、多項式次数 $k$ に対して、離散 $H^1$-ノルムにおける最適収束次数 $k+1$ を達成する。
• 理論的誤差推定により、$L^2$-ノルムにおいても最適収束次数 $k+1$ が達成されていることが確認された。
• $\nu = 0.1$ および $\nu = 0.01$ の数値実験では、$t_n = 0.1, 0.4, 0.6, 0.8, 1.0$ における数値解と正確な解の間に良好な一致が観察された。
• $t_n = 1.0$ における $k=0$ および $k=1$ の収束プロットは、$\nu = 0.1, 0.01, 0.001$ の全範囲で $H^1$ および $L^2$ ノルムにおいて $k+1$ 次の収束を確認した。
• 粘性係数 $\nu = 0.001$ に対しても、本手法は安定かつ高精度を維持し、ほぼ双曲型領域におけるロバスト性を示した。
• 数値結果は理論的誤差推定を妥当化し、提案された弱変分形式の有効性を確認した。