[論文レビュー] A Weak Galerkin Finite Element Method for the Stokes Equations

Junping Wang, Xiu Ye|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2013

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 7被引用数 22

ひとこと要約

本稿では、任意の多角形／多面体メッシュ上で、速度に対して次数 $k \geq 1$ の不連続多項式近似と、圧力に対して次数 $k-1$ の不連続多項式近似を用いた、ストークス方程式の弱ガレルキン（WG）有限要素法を提案する。この手法は弱勾配と弱発散を分布として定義し、パラメータフリーの安定化項を組み込み、速度と圧力の破損 $H^1$ および $L^2$ ノルムにおいて最適順序の誤差推定を達成する。

ABSTRACT

This paper introduces a weak Galerkin (WG) finite element method for the Stokes equations in the primary velocity-pressure formulation. This WG method is equipped with stable finite elements consisting of usual polynomials of degree $k\ge 1$ for the velocity and polynomials of degree $k-1$ for the pressure, both are discontinuous. The velocity element is enhanced by polynomials of degree $k-1$ on the interface of the finite element partition. All the finite element functions are discontinuous for which the usual gradient and divergence operators are implemented as distributions in properly-defined spaces. Optimal-order error estimates are established for the corresponding numerical approximation in various norms. It must be emphasized that the WG finite element method is designed on finite element partitions consisting of arbitrary shape of polygons or polyhedra which are shape regular.

研究の動機と目的

• 任意の多角形および多面体メッシュを許容する安定的かつ頑健なストークス方程式用の有限要素法の開発を目的とする。
• 速度と圧力の両方に対して不連続近似を用いることで、従来の適合有限要素法の制限を克服することを目的とする。
• 古典的なインフラ・インフラ条件を必要とせず、パラメータフリーの安定化項を導入することにより、安定性と最適収束性を保証することを目的とする。
• 弱導出を分布として定義する枠組みを活用し、弱ガレルキンフレームワークをストークス問題へ拡張することを目的とする。
• 一般なメッシュ仮定の下で、速度と圧力の関連ノルムにおける最適誤差推定を確立することを目的とする。

提案手法

• 不連続有限要素空間を用いる：速度には次数 $k \geq 1$ の多項式、圧力には次数 $k-1$ の多項式を用い、加えて要素境界上にも次数 $k-1$ の多項式を追加する。
• 弱勾配 $\nabla_w$ と弱発散 $\nabla_w \cdot$ は部分積分を用いて定義され、離散ソボレフ空間内での分布として解釈される。
• 速度近似の要素界面における弱連続性を強制するために、安定化双線形形式 $s(\cdot, \cdot)$ が導入される。
• 変分式は、古典的勾配と発散をそれらの弱対応物に置き換えることで得られ、一貫性と安定性を保つ混合型式となる。
• 内部自由度を静的縮約により削除することで、混合有限要素法により離散系を解く。これにより未知数の数が削減される。
• 形状正則な多角形および多面体メッシュ上で手法が定式化され、メッシュ生成および適応的グリッド・リファインメントの柔軟性が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の多角形および多面体メッシュ上で安定かつ収束する弱ガレルキン有限要素法をストークス方程式に構築できるか？
• RQ2 不連続近似を用いて、破損 $H^1$ ノルムにおける速度の最適順序誤差推定と、$L^2$ ノルムにおける圧力の最適順序誤差推定をどのように導出できるか？
• RQ3 パラメータフリーの安定化項 $s(\cdot, \cdot)$ は、古典的インフラ・インフラ条件を必要とせず、安定性と収束性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ4 分布として定義された弱勾配および弱発散作用素は、数値スキームの一貫性と収束性にどのように影響を与えるか？
• RQ5 静的縮約により内部自由度を削除することで、計算効率をどの程度向上できるか？

主な発見

• WG法は最適順序の誤差推定を達成する：速度は破損 $H^1$ ノルムで $O(h^k)$、速度および圧力は $L^2$ ノルムで $O(h^k)$ である。
• 形状正則な任意の多角形および多面体メッシュ上で安定かつ収束する。要素間の適合連続性は要求されない。
• 安定化項 $s(\cdot, \cdot)$ はパラメータフリーであり、速度近似の弱連続性を保証し、追加制約なしに最適収束性を実現する。
• 一貫性項 $\ell_{\mathbf{w}}(\mathbf{v})$ と $\theta_\rho(\mathbf{v})$ の誤差推定は、それぞれ $Ch^r\|\mathbf{w}\|_{r+1}\|\!\!\|\mathbf{v}\|\!\!\|$ および $Ch^r\|\rho\|_r\|\!\!\|\mathbf{v}\|\!\!\|$ で抑えられ、最適収束レートが確認される。
• 正確な解が $H^{r+1}$ および $H^r$ 空間に属する限り、解の正則性が限定的であっても、速度および圧力の近似は最適に収束することが示された。
• 静的縮約が可能であり、グローバルに結合する自由度の数を削減できるため、計算効率が向上する。