[論文レビュー] A weak randomness notion for probability measures

André Nies, Frank Stephan|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2019

Computability, Logic, AI Algorithms被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、カントール空間上の確率測度における弱いランダムネスの概念を導入する。これは、マーティン・löf絶対連続性として定義され、非MLランダムな系列が測度のもとで零集合をなすものである。この性質と測度下での初期セグメント複雑度の増加率との関係を確立し、最大の複雑度増加が弱いランダムネス性を意味することを示すが、この文脈ではレヴィン＝シュノールの定理の逆は成り立たない。

ABSTRACT

We study algorithmic randomness properties for probability measures on Cantor space. We say that a measure $\mu$ on the space of infinite bit sequences is ML absolutely continuous if the non-ML-random bit sequences form a null set with respect to~$\mu$. We think of this as a weak randomness notion for measures. We begin with examples, and provide a robustness property related to Solovay tests. Our main work connects our weak randomness notion to the growth of the initial segment complexity for measures~$\mu$; the latter is defined as a $\mu$-average over the complexity of strings of the same length. We show that a maximal growth implies our weak randomness property, but also that both implications of the Levin-Schnorr theorem fail. We discuss $C$-triviality and $K$-triviality for measures and relate these two notions with each other. Here triviality means that the growth of initial segment complexity is as slow as possible. We show that full Martin-Lof randomness of a measure implies ML absolute continuity; the converse fails because only the latter property is compatible with having atoms. In a final section we consider weak randomness relative to a general ergodic computable measure. We seek appropriate effective versions of the Shannon-McMillan-Breiman theorem and the Brudno theorem where the bit sequences are replaced by measures. We conclude with several open questions.

研究の動機と目的

• カントール空間上の確率測度に対するアルゴリズム的ランダムネスの弱い形を定義し、調査すること。
• ソロヴェイテストを用いたこの概念の堅牢性と、アトムをもつ測度との整合性を検討すること。
• 弱いランダムネス性と測度下での文字列の平均初期セグメント複雑度との関係を結びつけること。
• $C$-自明性と$K$-自明性を測度に対して研究し、複雑度の成長が遅いことの特徴づけを行うこと。
• 一般のエルゴディックな計算可能測度に関する弱いランダムネスにまで結果を拡張し、シャノン＝マクミルランド＝ブリュドノの定理およびブリュドノの定理の有効版を求める。

提案手法

• 与えられた確率測度のもとで非マーティン・löfランダムな系列が零測度であるという条件として、ML絶対連続性を定義すること。
• 測度変換のもとでの弱いランダムネス概念の堅牢性を示すために、ソロヴェイテストを用いること。
• 測度$\mu$のもとでの長さ$n$の文字列の平均初期セグメント複雑度$\mathbb{E}_\mu[K(x)]$を分析すること。
• 平均初期セグメント複雑度$\mathbb{E}_\mu[K(x)]$の最大増加率が、測度$\mu$のML絶対連続性を意味することを証明すること。
• レヴィン＝シュノールの定理の含意が、測度の文脈では成り立たないことを示すこと。
• 測度の$C$-自明性と$K$-自明性を、複雑度成長の最小限の状態を表す概念として研究すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ML絶対連続性は、測度についての完全なマーティン・löfランダムネスを意味するか？
• RQ2 平均初期セグメント複雑度$\mathbb{E}_\mu[K(x)]$は、測度$\mu$の弱いランダムネス性とどのように関係するか？
• RQ3 レヴィン＝シュノールの定理の含意は、測度の文脈に拡張可能か、あるいはこの文脈では失敗するか？
• RQ4 測度における$C$-自明性と$K$-自明性の関係は何か？
• RQ5 シャノン＝マクミルランド＝ブリュドノの定理およびブリュドノの定理の有効版を、系列ではなく測度に対して定式化できるか？

主な発見

• 測度の完全なマーティン・löfランダムネスはML絶対連続性を意味するが、アトムとの整合性のため、逆は成り立たない。
• 平均初期セグメント複雑度$\mathbb{E}_\mu[K(x)]$の最大増加率は、測度$\mu$のML絶対連続性を意味する。
• レヴィン＝シュノールの定理の含意は、測度の文脈では成り立たないが、前向きの含意は成立する。
• 測度における$C$-自明性と$K$-自明性は異なる概念であり、$K$-自明性は複雑度成長の最も遅い状態に対応する。
• ML絶対連続性はソロヴェイテストに対して堅牢であり、有効な測度変換のもとでの安定性を示している。
• 本稿は、測度に対するシャノン＝マクミルランド＝ブリュドノの定理およびブリュドノの定理の有効版に関する未解決の問題を特定している。